График функции y = (y+3)^2

Вы ввели

              2
f(y) = (y + 3) 

$$f{\left(y \right)} = \left(y + 3\right)^{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(y + 3\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
$$y_{1} = -3$$
Численное решение
$$y_{1} = -3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в (y + 3)^2.
$$3^{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 9$$
Точка:

(0, 9)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
первая производная
$$2 y + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = -3$$
Зн. экстремумы в точках:

(-3, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$y_{1} = -3$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
вторая производная
$$2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \left(y + 3\right)^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty} \left(y + 3\right)^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (y + 3)^2, делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\left(y + 3\right)^{2}}{y}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\left(y + 3\right)^{2}}{y}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$\left(y + 3\right)^{2} = \left(3 - y\right)^{2}$$
- Нет
$$\left(y + 3\right)^{2} = - \left(3 - y\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График