График функции пересекает ось Y при f = 0 значит надо решить уравнение: $$y^{2} - 2 y = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью Y:
Аналитическое решение $$y_{1} = 0$$ $$y_{2} = 2$$ Численное решение $$y_{1} = 0$$ $$y_{2} = 2$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда y равняется 0: подставляем y = 0 в y^2 - 2*y. $$0^{2} - 0$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = 0$$ Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = $$ Первая производная $$2 y - 2 = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$y_{1} = 1$$ Зн. экстремумы в точках:
(1, -1)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: $$y_{1} = 1$$ Максимумов у функции нет Убывает на промежутках
[1, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 1]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = $$ Вторая производная $$2 = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo $$\lim_{y \to -\infty}\left(y^{2} - 2 y\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует $$\lim_{y \to \infty}\left(y^{2} - 2 y\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции y^2 - 2*y, делённой на y при y->+oo и y ->-oo $$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y} \left(y^{2} - 2 y\right)\right) = -\infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует $$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y} \left(y^{2} - 2 y\right)\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y). Итак, проверяем: $$y^{2} - 2 y = y^{2} + 2 y$$ - Нет $$y^{2} - 2 y = - y^{2} - 2 y$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной