График функции y = 8*cos(x)^(3)

Вы ввели

            3   
f(x) = 8*cos (x)

$$f{\left (x \right )} = 8 \cos^{3}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$8 \cos^{3}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 95.818627417$$
$$x_{2} = 58.1194603257$$
$$x_{3} = 92.6770059$$
$$x_{4} = -14.1371260034$$
$$x_{5} = 36.1283177898$$
$$x_{6} = -95.8185603031$$
$$x_{7} = 42.4114617473$$
$$x_{8} = -58.1194276545$$
$$x_{9} = -51.8362625267$$
$$x_{10} = 14.1371748405$$
$$x_{11} = 80.1106035285$$
$$x_{12} = 1.57080273224$$
$$x_{13} = 20.4203112367$$
$$x_{14} = 51.8363261593$$
$$x_{15} = -23.5619897288$$
$$x_{16} = -7.85396939058$$
$$x_{17} = -36.1282768063$$
$$x_{18} = -1.57083925519$$
$$x_{19} = -89.5354410429$$
$$x_{20} = -73.8274109943$$
$$x_{21} = -80.1105785508$$
$$x_{22} = 29.8451754772$$
$$x_{23} = 64.4026122771$$
$$x_{24} = 70.6858302611$$
$$x_{25} = 86.3937628263$$
$$x_{26} = 48.6946439324$$
$$x_{27} = 7.85402475701$$
$$x_{28} = -42.4114638605$$
$$x_{29} = 73.8274768053$$
$$x_{30} = -29.8451152215$$
$$x_{31} = -20.4203505482$$
$$x_{32} = -45.5531401844$$
$$x_{33} = -67.5442906224$$
$$x_{34} = 23.5619763533$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 8*cos(x)^3.
$$8 \cos^{3}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 8$$
Точка:

(0, 8)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- 24 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 8)

 pi    
(--, 0)
 2     

(pi, -8)

 3*pi    
(----, 0)
  2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$24 \left(2 \sin^{2}{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[3*pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 2*atan(sqrt(-2*sqrt(6) + 5))] U [pi/2, 2*atan(sqrt(2*sqrt(6) + 5))]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(8 \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = \langle -8, 8\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -8, 8\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = \langle -8, 8\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -8, 8\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 8*cos(x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8}{x} \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{x} \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$8 \cos^{3}{\left (x \right )} = 8 \cos^{3}{\left (x \right )}$$
- Да
$$8 \cos^{3}{\left (x \right )} = - 8 \cos^{3}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной