График функции y = 8*sin(t)

Вы ввели

f(t) = 8*sin(t)

$$f{\left (t \right )} = 8 \sin{\left (t \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось T при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$8 \sin{\left (t \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью T:

Аналитическое решение
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$
Численное решение
$$t_{1} = -94.2477796077$$
$$t_{2} = 31.4159265359$$
$$t_{3} = 81.6814089933$$
$$t_{4} = 84.8230016469$$
$$t_{5} = -53.407075111$$
$$t_{6} = 65.9734457254$$
$$t_{7} = 3.14159265359$$
$$t_{8} = 15.7079632679$$
$$t_{9} = 100.530964915$$
$$t_{10} = 50.2654824574$$
$$t_{11} = -3.14159265359$$
$$t_{12} = 40.8407044967$$
$$t_{13} = -59.6902604182$$
$$t_{14} = 97.3893722613$$
$$t_{15} = 78.5398163397$$
$$t_{16} = -25.1327412287$$
$$t_{17} = -43.9822971503$$
$$t_{18} = 25.1327412287$$
$$t_{19} = -81.6814089933$$
$$t_{20} = -91.1061869541$$
$$t_{21} = 87.9645943005$$
$$t_{22} = 69.115038379$$
$$t_{23} = -34.5575191895$$
$$t_{24} = 28.2743338823$$
$$t_{25} = -31.4159265359$$
$$t_{26} = 37.6991118431$$
$$t_{27} = -28.2743338823$$
$$t_{28} = 72.2566310326$$
$$t_{29} = 56.5486677646$$
$$t_{30} = -75.3982236862$$
$$t_{31} = -69.115038379$$
$$t_{32} = -6.28318530718$$
$$t_{33} = -9.42477796077$$
$$t_{34} = 6.28318530718$$
$$t_{35} = 75.3982236862$$
$$t_{36} = -65.9734457254$$
$$t_{37} = -87.9645943005$$
$$t_{38} = -72.2566310326$$
$$t_{39} = 18.8495559215$$
$$t_{40} = -267.035375555$$
$$t_{41} = -84.8230016469$$
$$t_{42} = 9.42477796077$$
$$t_{43} = -50.2654824574$$
$$t_{44} = -56.5486677646$$
$$t_{45} = -232.477856366$$
$$t_{46} = -2642.07942167$$
$$t_{47} = 91.1061869541$$
$$t_{48} = 59.6902604182$$
$$t_{49} = -47.1238898038$$
$$t_{50} = 12.5663706144$$
$$t_{51} = -62.8318530718$$
$$t_{52} = 62.8318530718$$
$$t_{53} = -18.8495559215$$
$$t_{54} = -12.5663706144$$
$$t_{55} = -37.6991118431$$
$$t_{56} = -97.3893722613$$
$$t_{57} = 94.2477796077$$
$$t_{58} = 34.5575191895$$
$$t_{59} = -21.9911485751$$
$$t_{60} = 21.9911485751$$
$$t_{61} = -100.530964915$$
$$t_{62} = 53.407075111$$
$$t_{63} = -113.097335529$$
$$t_{64} = -78.5398163397$$
$$t_{65} = 0$$
$$t_{66} = 43.9822971503$$
$$t_{67} = -40.8407044967$$
$$t_{68} = -15.7079632679$$
$$t_{69} = 47.1238898038$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда t равняется 0:
подставляем t = 0 в 8*sin(t).
$$8 \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d t} f{\left (t \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d t} f{\left (t \right )} = $$
Первая производная
$$8 \cos{\left (t \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 8)
 2     

 3*pi     
(----, -8)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left (t \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left (t \right )} = $$
Вторая производная
$$- 8 \sin{\left (t \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при t->+oo и t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(8 \sin{\left (t \right )}\right) = \langle -8, 8\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -8, 8\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(8 \sin{\left (t \right )}\right) = \langle -8, 8\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -8, 8\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 8*sin(t), делённой на t при t->+oo и t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{8}{t} \sin{\left (t \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{8}{t} \sin{\left (t \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-t) и f = -f(-t).
Итак, проверяем:
$$8 \sin{\left (t \right )} = - 8 \sin{\left (t \right )}$$
- Нет
$$8 \sin{\left (t \right )} = - -1 \cdot 8 \sin{\left (t \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной