График функции y = x/(4-2*x)

Вы ввели

          x   
f(x) = -------
       4 - 2*x

$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{4 - 2 x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{4 - 2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/(4 - 2*x).
$$\frac{0}{4 - 2 \cdot 0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{\left(4 - 2 x\right)^{2}} + \frac{1}{4 - 2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- \frac{x}{x - 2} + 1}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{4 - 2 x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{4 - 2 x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - \frac{1}{2}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(4 - 2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{4 - 2 x} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 - 2 x} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{4 - 2 x} = - \frac{x}{2 x + 4}$$
- Нет
$$\frac{x}{4 - 2 x} = \frac{x}{2 x + 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График