График функции y = x/2+4/x

Вы ввели

       x   4
f(x) = - + -
       2   x

$$f{\left (x \right )} = \frac{x}{2} + \frac{4}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{2} + \frac{4}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/2 + 4/x.
$$\frac{0}{2} + \frac{4}{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{2} - \frac{4}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

      ___       ___ 
(-2*\/ 2, -2*\/ 2 )

     ___      ___ 
(2*\/ 2, 2*\/ 2 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2 \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2*sqrt(2)] U [2*sqrt(2), oo)

Возрастает на промежутках

[-2*sqrt(2), 2*sqrt(2)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{8}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} + \frac{4}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \frac{4}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/2 + 4/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x}{2} + \frac{4}{x}\right)\right) = \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x}{2} + \frac{4}{x}\right)\right) = \frac{1}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{x}{2}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{2} + \frac{4}{x} = - \frac{x}{2} - \frac{4}{x}$$
- Нет
$$\frac{x}{2} + \frac{4}{x} = - \frac{-1 x}{2} - - \frac{4}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной