График функции y = x/2+2/x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       x   2
f(x) = - + -
       2   x
f(x)=x2+2xf{\left (x \right )} = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}
График функции
05-35-30-25-20-15-10-5101520253035-5050
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2+2x=0\frac{x}{2} + \frac{2}{x} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/2 + 2/x.
02+20\frac{0}{2} + \frac{2}{0}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
122x2=0\frac{1}{2} - \frac{2}{x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -2)

(2, 2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = 2
Максимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = -2
Убывает на промежутках
(-oo, -2] U [2, oo)

Возрастает на промежутках
[-2, 2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
4x3=0\frac{4}{x^{3}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x2+2x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} + \frac{2}{x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x2+2x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \frac{2}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/2 + 2/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x2+2x))=12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x}{2} + \frac{2}{x}\right)\right) = \frac{1}{2}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=x2y = \frac{x}{2}
limx(1x(x2+2x))=12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x}{2} + \frac{2}{x}\right)\right) = \frac{1}{2}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=x2y = \frac{x}{2}
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2+2x=x22x\frac{x}{2} + \frac{2}{x} = - \frac{x}{2} - \frac{2}{x}
- Нет
x2+2x=1x22x\frac{x}{2} + \frac{2}{x} = - \frac{-1 x}{2} - - \frac{2}{x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной