График функции y = x/(25-x^2)

Вы ввели

          x   
f(x) = -------
             2
       25 - x 

$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{25 - x^{2}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{25 - x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/(25 - x^2).
$$\frac{0}{25 - 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{2 x^{2}}{\left(25 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{25 - x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{\left(x^{2} - 25\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$

$$\lim_{x \to -5^-}\left(\frac{2 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{\left(x^{2} - 25\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -5^+}\left(\frac{2 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{\left(x^{2} - 25\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -5$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 5^-}\left(\frac{2 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{\left(x^{2} - 25\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{2 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25} + 3\right)}{\left(x^{2} - 25\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 5$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{25 - x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{25 - x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(25 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{25 - x^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{25 - x^{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{25 - x^{2}} = - \frac{x}{25 - x^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x}{25 - x^{2}} = \frac{x}{25 - x^{2}}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График