График функции y = x/exp(x)

Вы ввели

       x 
f(x) = --
        x
       e 

$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{e^{x}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{e^{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 109.398572537176$$
$$x_{2} = 75.5166588459953$$
$$x_{3} = 107.40315817241$$
$$x_{4} = 121.374613775997$$
$$x_{5} = 87.4626045093137$$
$$x_{6} = 89.4552548670559$$
$$x_{7} = 53.7006804984823$$
$$x_{8} = 79.496455118891$$
$$x_{9} = 55.67586733869$$
$$x_{10} = 32.3772961851972$$
$$x_{11} = 0$$
$$x_{12} = 85.4703620749206$$
$$x_{13} = 36.1413894508705$$
$$x_{14} = 51.7281686335153$$
$$x_{15} = 97.429350983852$$
$$x_{16} = 113.389949729147$$
$$x_{17} = 38.0568716419232$$
$$x_{18} = 57.6533514231885$$
$$x_{19} = 111.394173451874$$
$$x_{20} = 43.8762545098096$$
$$x_{21} = 61.614029218278$$
$$x_{22} = 71.5396566043977$$
$$x_{23} = 45.8319875396224$$
$$x_{24} = 91.4482816547886$$
$$x_{25} = 115.385891060967$$
$$x_{26} = 117.381987933686$$
$$x_{27} = 99.4236264980399$$
$$x_{28} = 105.407942520376$$
$$x_{29} = 47.7931569932505$$
$$x_{30} = 81.4872456640903$$
$$x_{31} = 59.6328238138969$$
$$x_{32} = 41.9272307499711$$
$$x_{33} = 34.2454094695441$$
$$x_{34} = 39.9866376954424$$
$$x_{35} = 101.418161552262$$
$$x_{36} = 83.4785626915261$$
$$x_{37} = 77.5062407712727$$
$$x_{38} = 93.4416565533312$$
$$x_{39} = 67.5660769899711$$
$$x_{40} = 49.758798960419$$
$$x_{41} = 73.5277731870455$$
$$x_{42} = 103.412938828373$$
$$x_{43} = 63.5967547129854$$
$$x_{44} = 69.5523925194344$$
$$x_{45} = 119.378231552779$$
$$x_{46} = 95.4353540260187$$
$$x_{47} = 65.580821222158$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/exp(x).
$$\frac{0}{e^{0}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- x e^{- x} + \frac{1}{e^{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

     -1 
(1, e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\left(x - 2\right) e^{- x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{e^{x}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{e^{x}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/exp(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{- x} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} e^{- x} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{e^{x}} = - x e^{x}$$
- Нет
$$\frac{x}{e^{x}} = x e^{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График