График функции y = x/cos(x)

Вы ввели

         x   
f(x) = ------
       cos(x)

$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\cos{\left(x \right)}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\cos{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/cos(x).
$$\frac{0}{\cos{\left(0 \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -65.9582857893902$$
$$x_{2} = 21.945612879981$$
$$x_{3} = 100.521017074687$$
$$x_{4} = 47.1026627703624$$
$$x_{5} = 25.0929104121121$$
$$x_{6} = -50.2455828375744$$
$$x_{7} = 56.5309801938186$$
$$x_{8} = -59.6735041304405$$
$$x_{9} = 69.100567727981$$
$$x_{10} = 65.9582857893902$$
$$x_{11} = -78.5270825679419$$
$$x_{12} = -47.1026627703624$$
$$x_{13} = -72.2427897046973$$
$$x_{14} = 6.12125046689807$$
$$x_{15} = 2.79838604578389$$
$$x_{16} = -69.100567727981$$
$$x_{17} = -18.7964043662102$$
$$x_{18} = 97.3791034786112$$
$$x_{19} = 84.811211299318$$
$$x_{20} = -6.12125046689807$$
$$x_{21} = -34.5285657554621$$
$$x_{22} = 78.5270825679419$$
$$x_{23} = -2.79838604578389$$
$$x_{24} = 72.2427897046973$$
$$x_{25} = -43.9595528888955$$
$$x_{26} = 31.3840740178899$$
$$x_{27} = -75.3849592185347$$
$$x_{28} = 50.2455828375744$$
$$x_{29} = 9.31786646179107$$
$$x_{30} = 43.9595528888955$$
$$x_{31} = 91.0952098694071$$
$$x_{32} = 53.3883466217256$$
$$x_{33} = -81.6691650818489$$
$$x_{34} = -28.2389365752603$$
$$x_{35} = -53.3883466217256$$
$$x_{36} = 87.9532251106725$$
$$x_{37} = 37.672573565113$$
$$x_{38} = -12.4864543952238$$
$$x_{39} = -84.811211299318$$
$$x_{40} = -87.9532251106725$$
$$x_{41} = 81.6691650818489$$
$$x_{42} = 28.2389365752603$$
$$x_{43} = 59.6735041304405$$
$$x_{44} = 34.5285657554621$$
$$x_{45} = -31.3840740178899$$
$$x_{46} = 40.8162093266346$$
$$x_{47} = 75.3849592185347$$
$$x_{48} = -94.2371684817036$$
$$x_{49} = -56.5309801938186$$
$$x_{50} = 15.644128370333$$
$$x_{51} = -40.8162093266346$$
$$x_{52} = -97.3791034786112$$
$$x_{53} = 94.2371684817036$$
$$x_{54} = -100.521017074687$$
$$x_{55} = -91.0952098694071$$
$$x_{56} = -9.31786646179107$$
$$x_{57} = 18.7964043662102$$
$$x_{58} = -37.672573565113$$
$$x_{59} = -21.945612879981$$
$$x_{60} = -15.644128370333$$
$$x_{61} = -25.0929104121121$$
$$x_{62} = 62.8159348889734$$
$$x_{63} = -62.8159348889734$$
$$x_{64} = 12.4864543952238$$
Зн. экстремумы в точках:

(-65.9582857893902, 65.9658659025626)

(21.945612879981, -21.9683846624641)

(100.521017074687, 100.525991035798)

(47.1026627703624, -47.1132766856486)

(25.0929104121121, 25.1128284538059)

(-50.2455828375744, -50.255532975858)

(56.5309801938186, 56.5398242097896)

(-59.6735041304405, 59.6818824703587)

(69.100567727981, 69.1078031797371)

(65.9582857893902, -65.9658659025626)

(-78.5270825679419, 78.5334495398768)

(-47.1026627703624, 47.1132766856486)

(-72.2427897046973, 72.2497104791231)

(6.12125046689807, 6.20239528557313)

(2.79838604578389, -2.9716938707138)

(-69.100567727981, -69.1078031797371)

(-18.7964043662102, -18.822986402218)

(97.3791034786112, -97.3842379150654)

(84.811211299318, -84.817106541414)

(-6.12125046689807, -6.20239528557313)

(-34.5285657554621, 34.5430434838806)

(78.5270825679419, -78.5334495398768)

(-2.79838604578389, 2.9716938707138)

(72.2427897046973, -72.2497104791231)

(-43.9595528888955, -43.9709255098366)

(31.3840740178899, 31.400001623573)

(-75.3849592185347, -75.3915915495896)

(50.2455828375744, 50.255532975858)

(9.31786646179107, -9.37137318645303)

(43.9595528888955, 43.9709255098366)

(91.0952098694071, -91.1006984668687)

(53.3883466217256, -53.3977111400996)

(-81.6691650818489, -81.6752871140731)

(-28.2389365752603, 28.256637077005)

(-53.3883466217256, 53.3977111400996)

(87.9532251106725, 87.958909766826)

(37.672573565113, 37.6858434829161)

(-12.4864543952238, -12.5264337847611)

(-84.811211299318, 84.817106541414)

(-87.9532251106725, -87.958909766826)

(81.6691650818489, 81.6752871140731)

(28.2389365752603, -28.256637077005)

(59.6735041304405, -59.6818824703587)

(34.5285657554621, -34.5430434838806)

(-31.3840740178899, -31.400001623573)

(40.8162093266346, -40.8284575240806)

(75.3849592185347, 75.3915915495896)

(-94.2371684817036, -94.2424740944813)

(-56.5309801938186, -56.5398242097896)

(15.644128370333, -15.6760566619115)

(-40.8162093266346, 40.8284575240806)

(-97.3791034786112, 97.3842379150654)

(94.2371684817036, 94.2424740944813)

(-100.521017074687, -100.525991035798)

(-91.0952098694071, 91.1006984668687)

(-9.31786646179107, 9.37137318645303)

(18.7964043662102, 18.822986402218)

(-37.672573565113, -37.6858434829161)

(-21.945612879981, 21.9683846624641)

(-15.644128370333, 15.6760566619115)

(-25.0929104121121, -25.1128284538059)

(62.8159348889734, 62.8238941484508)

(-62.8159348889734, -62.8238941484508)

(12.4864543952238, 12.5264337847611)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -65.9582857893902$$
$$x_{2} = 100.521017074687$$
$$x_{3} = 25.0929104121121$$
$$x_{4} = 56.5309801938186$$
$$x_{5} = -59.6735041304405$$
$$x_{6} = 69.100567727981$$
$$x_{7} = -78.5270825679419$$
$$x_{8} = -47.1026627703624$$
$$x_{9} = -72.2427897046973$$
$$x_{10} = 6.12125046689807$$
$$x_{11} = -34.5285657554621$$
$$x_{12} = -2.79838604578389$$
$$x_{13} = 31.3840740178899$$
$$x_{14} = 50.2455828375744$$
$$x_{15} = 43.9595528888955$$
$$x_{16} = -28.2389365752603$$
$$x_{17} = -53.3883466217256$$
$$x_{18} = 87.9532251106725$$
$$x_{19} = 37.672573565113$$
$$x_{20} = -84.811211299318$$
$$x_{21} = 81.6691650818489$$
$$x_{22} = 75.3849592185347$$
$$x_{23} = -40.8162093266346$$
$$x_{24} = -97.3791034786112$$
$$x_{25} = 94.2371684817036$$
$$x_{26} = -91.0952098694071$$
$$x_{27} = -9.31786646179107$$
$$x_{28} = 18.7964043662102$$
$$x_{29} = -21.945612879981$$
$$x_{30} = -15.644128370333$$
$$x_{31} = 62.8159348889734$$
$$x_{32} = 12.4864543952238$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{32} = 21.945612879981$$
$$x_{32} = 47.1026627703624$$
$$x_{32} = -50.2455828375744$$
$$x_{32} = 65.9582857893902$$
$$x_{32} = 2.79838604578389$$
$$x_{32} = -69.100567727981$$
$$x_{32} = -18.7964043662102$$
$$x_{32} = 97.3791034786112$$
$$x_{32} = 84.811211299318$$
$$x_{32} = -6.12125046689807$$
$$x_{32} = 78.5270825679419$$
$$x_{32} = 72.2427897046973$$
$$x_{32} = -43.9595528888955$$
$$x_{32} = -75.3849592185347$$
$$x_{32} = 9.31786646179107$$
$$x_{32} = 91.0952098694071$$
$$x_{32} = 53.3883466217256$$
$$x_{32} = -81.6691650818489$$
$$x_{32} = -12.4864543952238$$
$$x_{32} = -87.9532251106725$$
$$x_{32} = 28.2389365752603$$
$$x_{32} = 59.6735041304405$$
$$x_{32} = 34.5285657554621$$
$$x_{32} = -31.3840740178899$$
$$x_{32} = 40.8162093266346$$
$$x_{32} = -94.2371684817036$$
$$x_{32} = -56.5309801938186$$
$$x_{32} = 15.644128370333$$
$$x_{32} = -100.521017074687$$
$$x_{32} = -37.672573565113$$
$$x_{32} = -25.0929104121121$$
$$x_{32} = -62.8159348889734$$
Убывает на промежутках
$$\left[100.521017074687, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -97.3791034786112\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}}{\cos{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

$$\lim_{x \to 1.5707963267949^-}\left(\frac{x \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}}{\cos{\left(x \right)}}\right) = 1.36838184805714 \cdot 10^{49}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^+}\left(\frac{x \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}}{\cos{\left(x \right)}}\right) = 1.36838184805714 \cdot 10^{49}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^-}\left(\frac{x \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}}{\cos{\left(x \right)}}\right) = -1.52042427561904 \cdot 10^{48}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^+}\left(\frac{x \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}}{\cos{\left(x \right)}}\right) = -1.52042427561904 \cdot 10^{48}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\cos{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\cos{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\cos{\left(x \right)}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\cos{\left(x \right)}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\cos{\left(x \right)}} = - \frac{x}{\cos{\left(x \right)}}$$
- Нет
$$\frac{x}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{x}{\cos{\left(x \right)}}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График