График функции y = x/(log(x))

Вы ввели

         x   
f(x) = ------
       log(x)

$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\log{\left(x \right)}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/log(x).
$$\frac{0}{\log{\left(0 \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e$$
Зн. экстремумы в точках:

(E, E)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, e\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{2}, \infty\right)$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/log(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\log{\left(x \right)}} = - \frac{x}{\log{\left(- x \right)}}$$
- Нет
$$\frac{x}{\log{\left(x \right)}} = \frac{x}{\log{\left(- x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График