График функции y = x/1+x^2

Вы ввели

       x    2
f(x) = - + x 
       1     

x 2 f(x) = - + x 1

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:

x    2    
- + x  = 0
1         

Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/1 + x^2.

0    2
- + 0 
1     

Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1/2, -1/4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-1/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -1/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

      /x    2\     
 lim  |- + x | = oo
x->-oo\1     /     

Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует

     /x    2\     
 lim |- + x | = oo
x->oo\1     /     

Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/1 + x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo

      x    2      
      - + x       
      1           
 lim  ------ = -oo
x->-oo  x         

Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует

     x    2     
     - + x      
     1          
 lim ------ = oo
x->oo  x        

Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:

x    2    2    
- + x  = x  - x
1              

- Нет

x    2      2     
- + x  = - x  - -x
1                 

- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной