График функции y = x/(sin(x))

Вы ввели

         x   
f(x) = ------
       sin(x)

$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\sin{\left(x \right)}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/sin(x).
$$\frac{0}{\sin{\left(0 \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 7.72525183693771$$
$$x_{2} = 32.9563890398225$$
$$x_{3} = 36.1006222443756$$
$$x_{4} = 20.3713029592876$$
$$x_{5} = 61.2447302603744$$
$$x_{6} = -80.0981286289451$$
$$x_{7} = 42.3879135681319$$
$$x_{8} = 14.0661939128315$$
$$x_{9} = 29.811598790893$$
$$x_{10} = -48.6741442319544$$
$$x_{11} = -45.5311340139913$$
$$x_{12} = 4.49340945790906$$
$$x_{13} = 80.0981286289451$$
$$x_{14} = -14.0661939128315$$
$$x_{15} = -23.519452498689$$
$$x_{16} = 70.6716857116195$$
$$x_{17} = -10.9041216594289$$
$$x_{18} = 76.9560263103312$$
$$x_{19} = 10.9041216594289$$
$$x_{20} = 73.8138806006806$$
$$x_{21} = 4.93829501990806 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{22} = -70.6716857116195$$
$$x_{23} = 48.6741442319544$$
$$x_{24} = -7.72525183693771$$
$$x_{25} = 83.2401924707234$$
$$x_{26} = -86.3822220347287$$
$$x_{27} = 54.9596782878889$$
$$x_{28} = -42.3879135681319$$
$$x_{29} = -32.9563890398225$$
$$x_{30} = -29.811598790893$$
$$x_{31} = -83.2401924707234$$
$$x_{32} = -92.6661922776228$$
$$x_{33} = -39.2444323611642$$
$$x_{34} = -64.3871195905574$$
$$x_{35} = 26.6660542588127$$
$$x_{36} = -73.8138806006806$$
$$x_{37} = -51.8169824872797$$
$$x_{38} = 92.6661922776228$$
$$x_{39} = 89.5242209304172$$
$$x_{40} = 95.8081387868617$$
$$x_{41} = 98.9500628243319$$
$$x_{42} = 86.3822220347287$$
$$x_{43} = 2.01537897347346 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{44} = -67.5294347771441$$
$$x_{45} = -95.8081387868617$$
$$x_{46} = 67.5294347771441$$
$$x_{47} = 23.519452498689$$
$$x_{48} = -98.9500628243319$$
$$x_{49} = 51.8169824872797$$
$$x_{50} = -61.2447302603744$$
$$x_{51} = -4.49340945790906$$
$$x_{52} = -89.5242209304172$$
$$x_{53} = 58.1022547544956$$
$$x_{54} = -26.6660542588127$$
$$x_{55} = -54.9596782878889$$
$$x_{56} = -36.1006222443756$$
$$x_{57} = 64.3871195905574$$
$$x_{58} = -76.9560263103312$$
$$x_{59} = -20.3713029592876$$
$$x_{60} = -17.2207552719308$$
$$x_{61} = 17.2207552719308$$
$$x_{62} = 39.2444323611642$$
$$x_{63} = -58.1022547544956$$
$$x_{64} = 45.5311340139913$$
Зн. экстремумы в точках:

(7.72525183693771, 7.78970576749272)

(32.9563890398225, 32.9715571143392)

(36.1006222443756, -36.1144697653324)

(20.3713029592876, 20.3958325218432)

(61.2447302603744, -61.2528936840213)

(-80.0981286289451, -80.1043707288125)

(42.3879135681319, -42.399707742618)

(14.0661939128315, 14.1016953304692)

(29.811598790893, -29.8283660710601)

(-48.6741442319544, -48.6844155424824)

(-45.5311340139913, 45.5421141867616)

(4.49340945790906, -4.6033388487517)

(80.0981286289451, -80.1043707288125)

(-14.0661939128315, 14.1016953304692)

(-23.519452498689, -23.5407018977364)

(70.6716857116195, 70.67876032672)

(-10.9041216594289, -10.9498798698263)

(76.9560263103312, 76.9625232530508)

(10.9041216594289, -10.9498798698263)

(73.8138806006806, -73.8206540836068)

(4.93829501990806e-17, 1)

(-70.6716857116195, 70.67876032672)

(48.6741442319544, -48.6844155424824)

(-7.72525183693771, 7.78970576749272)

(83.2401924707234, 83.2461989676591)

(-86.3822220347287, -86.3880100688583)

(54.9596782878889, -54.9687751137703)

(-42.3879135681319, -42.399707742618)

(-32.9563890398225, 32.9715571143392)

(-29.811598790893, -29.8283660710601)

(-83.2401924707234, 83.2461989676591)

(-92.6661922776228, -92.6715878316184)

(-39.2444323611642, 39.2571709544892)

(-64.3871195905574, 64.3948846506362)

(26.6660542588127, 26.6847981018021)

(-73.8138806006806, -73.8206540836068)

(-51.8169824872797, 51.8266309351384)

(92.6661922776228, -92.6715878316184)

(89.5242209304172, 89.5298058369287)

(95.8081387868617, 95.8133574080491)

(98.9500628243319, -98.9551157492084)

(86.3822220347287, -86.3880100688583)

(2.01537897347346e-17, 1)

(-67.5294347771441, -67.5368385499393)

(-95.8081387868617, 95.8133574080491)

(67.5294347771441, -67.5368385499393)

(23.519452498689, -23.5407018977364)

(-98.9500628243319, -98.9551157492084)

(51.8169824872797, 51.8266309351384)

(-61.2447302603744, -61.2528936840213)

(-4.49340945790906, -4.6033388487517)

(-89.5242209304172, 89.5298058369287)

(58.1022547544956, 58.1108596353238)

(-26.6660542588127, 26.6847981018021)

(-54.9596782878889, -54.9687751137703)

(-36.1006222443756, -36.1144697653324)

(64.3871195905574, 64.3948846506362)

(-76.9560263103312, 76.9625232530508)

(-20.3713029592876, 20.3958325218432)

(-17.2207552719308, -17.2497655675586)

(17.2207552719308, -17.2497655675586)

(39.2444323611642, 39.2571709544892)

(-58.1022547544956, 58.1108596353238)

(45.5311340139913, 45.5421141867616)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 7.72525183693771$$
$$x_{2} = 32.9563890398225$$
$$x_{3} = 20.3713029592876$$
$$x_{4} = 14.0661939128315$$
$$x_{5} = -45.5311340139913$$
$$x_{6} = -14.0661939128315$$
$$x_{7} = 70.6716857116195$$
$$x_{8} = 76.9560263103312$$
$$x_{9} = 4.93829501990806 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{10} = -70.6716857116195$$
$$x_{11} = -7.72525183693771$$
$$x_{12} = 83.2401924707234$$
$$x_{13} = -32.9563890398225$$
$$x_{14} = -83.2401924707234$$
$$x_{15} = -39.2444323611642$$
$$x_{16} = -64.3871195905574$$
$$x_{17} = 26.6660542588127$$
$$x_{18} = -51.8169824872797$$
$$x_{19} = 89.5242209304172$$
$$x_{20} = 95.8081387868617$$
$$x_{21} = 2.01537897347346 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{22} = -95.8081387868617$$
$$x_{23} = 51.8169824872797$$
$$x_{24} = -89.5242209304172$$
$$x_{25} = 58.1022547544956$$
$$x_{26} = -26.6660542588127$$
$$x_{27} = 64.3871195905574$$
$$x_{28} = -76.9560263103312$$
$$x_{29} = -20.3713029592876$$
$$x_{30} = 39.2444323611642$$
$$x_{31} = -58.1022547544956$$
$$x_{32} = 45.5311340139913$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{32} = 36.1006222443756$$
$$x_{32} = 61.2447302603744$$
$$x_{32} = -80.0981286289451$$
$$x_{32} = 42.3879135681319$$
$$x_{32} = 29.811598790893$$
$$x_{32} = -48.6741442319544$$
$$x_{32} = 4.49340945790906$$
$$x_{32} = 80.0981286289451$$
$$x_{32} = -23.519452498689$$
$$x_{32} = -10.9041216594289$$
$$x_{32} = 10.9041216594289$$
$$x_{32} = 73.8138806006806$$
$$x_{32} = 48.6741442319544$$
$$x_{32} = -86.3822220347287$$
$$x_{32} = 54.9596782878889$$
$$x_{32} = -42.3879135681319$$
$$x_{32} = -29.811598790893$$
$$x_{32} = -92.6661922776228$$
$$x_{32} = -73.8138806006806$$
$$x_{32} = 92.6661922776228$$
$$x_{32} = 98.9500628243319$$
$$x_{32} = 86.3822220347287$$
$$x_{32} = -67.5294347771441$$
$$x_{32} = 67.5294347771441$$
$$x_{32} = 23.519452498689$$
$$x_{32} = -98.9500628243319$$
$$x_{32} = -61.2447302603744$$
$$x_{32} = -4.49340945790906$$
$$x_{32} = -54.9596782878889$$
$$x_{32} = -36.1006222443756$$
$$x_{32} = -17.2207552719308$$
$$x_{32} = 17.2207552719308$$
Убывает на промежутках
$$\left[95.8081387868617, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -95.8081387868617\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{x}{\sin{\left(x \right)}}$$
- Да
$$\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} = - \frac{x}{\sin{\left(x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График