График функции y = x/(x+3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         x  
f(x) = -----
       x + 3
f(x)=xx+3f{\left (x \right )} = \frac{x}{x + 3}
График функции
6024-12-10-8-6-4-2-100100
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=3x_{1} = -3
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
xx+3=0\frac{x}{x + 3} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/(x + 3).
03\frac{0}{3}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x(x+3)2+1x+3=0- \frac{x}{\left(x + 3\right)^{2}} + \frac{1}{x + 3} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2xx+32(x+3)2=0\frac{\frac{2 x}{x + 3} - 2}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=3x_{1} = -3
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(xx+3)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x + 3}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = 1
limx(xx+3)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x + 3}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx1x+3=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x + 3} = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx1x+3=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 3} = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
xx+3=xx+3\frac{x}{x + 3} = - \frac{x}{- x + 3}
- Нет
xx+3=1xx+3\frac{x}{x + 3} = - \frac{-1 x}{- x + 3}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной