График функции y = x/(x^2-1)

Вы ввели

         x   
f(x) = ------
        2    
       x  - 1

$$f{\left (x \right )} = \frac{x}{x^{2} - 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{x^{2} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/(x^2 - 1).
$$\frac{0}{-1 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках

[0, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(x^2 - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2} - 1} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} - 1} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{x^{2} - 1} = - \frac{x}{x^{2} - 1}$$
- Нет
$$\frac{x}{x^{2} - 1} = - \frac{-1 x}{x^{2} - 1}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной