График функции y = x-atan(2*x)

Вы ввели

f(x) = x - atan(2*x)

$$f{\left (x \right )} = x - \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x - \operatorname{atan}{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.16556118521$$
$$x_{3} = -1.16556118521$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x - atan(2*x).
$$- \operatorname{atan}{\left (0 \cdot 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

         1   pi 
(-1/2, - - + --)
         2   4  

      1   pi 
(1/2, - - --)
      2   4  

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1/2] U [1/2, oo)

Возрастает на промежутках

[-1/2, 1/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{16 x}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - atan(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x - \operatorname{atan}{\left (2 x \right )} = - x + \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}$$
- Нет
$$x - \operatorname{atan}{\left (2 x \right )} = - -1 x - \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной