График функции y = (x-2)/(log(x-3))

Вы ввели

         x - 2   
f(x) = ----------
       log(x - 3)

$$f{\left (x \right )} = \frac{x - 2}{\log{\left (x - 3 \right )}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 2}{\log{\left (x - 3 \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 2)/log(x - 3).
$$- \frac{2}{\log{\left (-3 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{2}{\log{\left (3 \right )} + i \pi}$$
Точка:

(0, -2/(pi*i + log(3)))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{\log{\left (x - 3 \right )}} - \frac{x - 2}{\left(x - 3\right) \log^{2}{\left (x - 3 \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 6.59112147667$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

(6.59112147667, 3.59112147666862)

(4, 8.46151640051518e+124)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 6.59112147667$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 4$$
Убывает на промежутках

(-oo, 4] U [6.59112147667, oo)

Возрастает на промежутках

[4, 6.59112147667]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x - 3\right) \log^{2}{\left (x - 3 \right )}} \left(-2 + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{2 x - 4}{\left(x - 3\right) \log{\left (x - 3 \right )}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3.09077627823$$
$$x_{2} = 14.0160938467$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 4$$

$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{1}{\left(x - 3\right) \log^{2}{\left (x - 3 \right )}} \left(-2 + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{2 x - 4}{\left(x - 3\right) \log{\left (x - 3 \right )}}\right)\right) = 3.02910693998693 \cdot 10^{374}$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{1}{\left(x - 3\right) \log^{2}{\left (x - 3 \right )}} \left(-2 + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{2 x - 4}{\left(x - 3\right) \log{\left (x - 3 \right )}}\right)\right) = 3.02910693998693 \cdot 10^{374}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 3.09077627823]

Выпуклая на промежутках

[14.0160938467, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 4$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{\log{\left (x - 3 \right )}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{\log{\left (x - 3 \right )}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 2)/log(x - 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \log{\left (x - 3 \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \log{\left (x - 3 \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 2}{\log{\left (x - 3 \right )}} = \frac{- x - 2}{\log{\left (- x - 3 \right )}}$$
- Нет
$$\frac{x - 2}{\log{\left (x - 3 \right )}} = - \frac{- x - 2}{\log{\left (- x - 3 \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной