График функции y = (x-2)*log(x-2)

Вы ввели

f(x) = (x - 2)*log(x - 2)

$$f{\left (x \right )} = \left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 2)*log(x - 2).
$$- 2 \log{\left (-2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - 2 \log{\left (2 \right )} - 2 i \pi$$
Точка:

(0, -2*log(2) - 2*pi*i)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\log{\left (x - 2 \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{e} \left(1 + 2 e\right)$$
Зн. экстремумы в точках:

            -1  /                -1\    /                -1\ 
((1 + 2*E)*e , \-2 + (1 + 2*E)*e  /*log\-2 + (1 + 2*E)*e  /)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{e} \left(1 + 2 e\right)$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[(1 + 2*E)*exp(-1), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, (1 + 2*E)*exp(-1)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 2)*log(x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )} = \left(- x - 2\right) \log{\left (- x - 2 \right )}$$
- Нет
$$\left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )} = - \left(- x - 2\right) \log{\left (- x - 2 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной