График функции y = x-2*sin(x)

Вы ввели

f(x) = x - 2*sin(x)

$$f{\left (x \right )} = x - 2 \sin{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x - 2 \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1.89549426703$$
$$x_{3} = 1.89549426703$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x - 2*sin(x).
$$- 2 \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 \cos{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi      ___   pi 
(--, - \/ 3  + --)
 3             3  

 5*pi    ___   5*pi 
(----, \/ 3  + ----)
  3             3   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Убывает на промежутках

[pi/3, 5*pi/3]

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/3] U [5*pi/3, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, pi]

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - 2 \sin{\left (x \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - 2 \sin{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - 2*sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2 \sin{\left (x \right )}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - 2 \sin{\left (x \right )}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x - 2 \sin{\left (x \right )} = - x + 2 \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
$$x - 2 \sin{\left (x \right )} = - -1 x - 2 \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной