График функции y = x-|x|

Вы ввели

f(x) = x - |x|

$$f{\left(x \right)} = x - \left|{x}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x - \left|{x}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 28$$
$$x_{2} = 54$$
$$x_{3} = 100$$
$$x_{4} = 68$$
$$x_{5} = 8$$
$$x_{6} = 32$$
$$x_{7} = 88$$
$$x_{8} = 2$$
$$x_{9} = 74$$
$$x_{10} = 0$$
$$x_{11} = 82$$
$$x_{12} = 86$$
$$x_{13} = 80$$
$$x_{14} = 6$$
$$x_{15} = 96$$
$$x_{16} = 66$$
$$x_{17} = 30$$
$$x_{18} = 12$$
$$x_{19} = 4$$
$$x_{20} = 76$$
$$x_{21} = 42$$
$$x_{22} = 44$$
$$x_{23} = 14$$
$$x_{24} = 16$$
$$x_{25} = 94$$
$$x_{26} = 98$$
$$x_{27} = 38$$
$$x_{28} = 50$$
$$x_{29} = 84$$
$$x_{30} = 34$$
$$x_{31} = 92$$
$$x_{32} = 36$$
$$x_{33} = 46$$
$$x_{34} = 58$$
$$x_{35} = 48$$
$$x_{36} = 56$$
$$x_{37} = 20$$
$$x_{38} = 70$$
$$x_{39} = 78$$
$$x_{40} = 52$$
$$x_{41} = 26$$
$$x_{42} = 62$$
$$x_{43} = 90$$
$$x_{44} = 60$$
$$x_{45} = 64$$
$$x_{46} = 10$$
$$x_{47} = 18$$
$$x_{48} = 24$$
$$x_{49} = 40$$
$$x_{50} = 22$$
$$x_{51} = 72$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x - |x|.
$$0 - \left|{0}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$1 - \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 28$$
$$x_{2} = 54$$
$$x_{3} = 100$$
$$x_{4} = 68$$
$$x_{5} = 8$$
$$x_{6} = 32$$
$$x_{7} = 88$$
$$x_{8} = 2$$
$$x_{9} = 74$$
$$x_{10} = 82$$
$$x_{11} = 86$$
$$x_{12} = 80$$
$$x_{13} = 6$$
$$x_{14} = 96$$
$$x_{15} = 66$$
$$x_{16} = 30$$
$$x_{17} = 12$$
$$x_{18} = 4$$
$$x_{19} = 76$$
$$x_{20} = 42$$
$$x_{21} = 44$$
$$x_{22} = 14$$
$$x_{23} = 16$$
$$x_{24} = 94$$
$$x_{25} = 98$$
$$x_{26} = 38$$
$$x_{27} = 0.25$$
$$x_{28} = 50$$
$$x_{29} = 84$$
$$x_{30} = 34$$
$$x_{31} = 92$$
$$x_{32} = 36$$
$$x_{33} = 46$$
$$x_{34} = 58$$
$$x_{35} = 48$$
$$x_{36} = 56$$
$$x_{37} = 20$$
$$x_{38} = 70$$
$$x_{39} = 78$$
$$x_{40} = 52$$
$$x_{41} = 26$$
$$x_{42} = 62$$
$$x_{43} = 90$$
$$x_{44} = 60$$
$$x_{45} = 64$$
$$x_{46} = 10$$
$$x_{47} = 18$$
$$x_{48} = 24$$
$$x_{49} = 40$$
$$x_{50} = 22$$
$$x_{51} = 72$$
Зн. экстремумы в точках:

(28, 0)

(54, 0)

(100, 0)

(68, 0)

(8, 0)

(32, 0)

(88, 0)

(2, 0)

(74, 0)

(82, 0)

(86, 0)

(80, 0)

(6, 0)

(96, 0)

(66, 0)

(30, 0)

(12, 0)

(4, 0)

(76, 0)

(42, 0)

(44, 0)

(14, 0)

(16, 0)

(94, 0)

(98, 0)

(38, 0)

(0.25, 0)

(50, 0)

(84, 0)

(34, 0)

(92, 0)

(36, 0)

(46, 0)

(58, 0)

(48, 0)

(56, 0)

(20, 0)

(70, 0)

(78, 0)

(52, 0)

(26, 0)

(62, 0)

(90, 0)

(60, 0)

(64, 0)

(10, 0)

(18, 0)

(24, 0)

(40, 0)

(22, 0)

(72, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \delta\left(x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \left|{x}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \left|{x}\right|\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - |x|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \left|{x}\right|}{x}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \left|{x}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x - \left|{x}\right| = - x - \left|{x}\right|$$
- Нет
$$x - \left|{x}\right| = x + \left|{x}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График