Графики функций/ Построение в 2D/ y = (x-1)/(|x-1|)

График функции y = (x-1)/(|x-1|)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        x - 1 
f(x) = -------
       |x - 1|
f(x)=x−1∣x−1∣f{\left (x \right )} = \frac{x - 1}{\left|{x - 1}\right|}
График функции
0-2000-1500-1000-5005001000150020002-2
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = 1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x−1∣x−1∣=0\frac{x - 1}{\left|{x - 1}\right|} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=1x_{1} = 1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 1)/|x - 1|.
−1∣−1∣- \frac{1}{\left|{-1}\right|}
Результат:
f(0)=−1f{\left (0 \right )} = -1
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
1∣x−1∣−sign⁡(x−1)x−1=0\frac{1}{\left|{x - 1}\right|} - \frac{\operatorname{sign}{\left (x - 1 \right )}}{x - 1} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=34x_{1} = 34
x2=92x_{2} = 92
x3=−100x_{3} = -100
x4=12x_{4} = 12
x5=80x_{5} = 80
x6=4x_{6} = 4
x7=70x_{7} = 70
x8=−82x_{8} = -82
x9=90x_{9} = 90
x10=−14x_{10} = -14
x11=−78x_{11} = -78
x12=−90x_{12} = -90
x13=−46x_{13} = -46
x14=−48x_{14} = -48
x15=46x_{15} = 46
x16=66x_{16} = 66
x17=22x_{17} = 22
x18=72x_{18} = 72
x19=−66x_{19} = -66
x20=−4x_{20} = -4
x21=82x_{21} = 82
x22=98x_{22} = 98
x23=74x_{23} = 74
x24=36x_{24} = 36
x25=−70x_{25} = -70
x26=−54x_{26} = -54
x27=−74x_{27} = -74
x28=−30x_{28} = -30
x29=−32x_{29} = -32
x30=−12x_{30} = -12
x31=52x_{31} = 52
x32=32x_{32} = 32
x33=−60x_{33} = -60
x34=−20x_{34} = -20
x35=40x_{35} = 40
x36=68x_{36} = 68
x37=−86x_{37} = -86
x38=−34x_{38} = -34
x39=24x_{39} = 24
x40=−10x_{40} = -10
x41=18x_{41} = 18
x42=−44x_{42} = -44
x43=62x_{43} = 62
x44=−76x_{44} = -76
x45=50x_{45} = 50
x46=−2x_{46} = -2
x47=88x_{47} = 88
x48=10x_{48} = 10
x49=−94x_{49} = -94
x50=−56x_{50} = -56
x51=−52x_{51} = -52
x52=0x_{52} = 0
x53=−80x_{53} = -80
x54=−36x_{54} = -36
x55=78x_{55} = 78
x56=54x_{56} = 54
x57=60x_{57} = 60
x58=−64x_{58} = -64
x59=−40x_{59} = -40
x60=−68x_{60} = -68
x61=26x_{61} = 26
x62=28x_{62} = 28
x63=−38x_{63} = -38
x64=−42x_{64} = -42
x65=−22x_{65} = -22
x66=−84x_{66} = -84
x67=−50x_{67} = -50
x68=38x_{68} = 38
x69=64x_{69} = 64
x70=30x_{70} = 30
x71=14x_{71} = 14
x72=86x_{72} = 86
x73=−6x_{73} = -6
x74=−98x_{74} = -98
x75=−28x_{75} = -28
x76=6x_{76} = 6
x77=−18x_{77} = -18
x78=94x_{78} = 94
x79=48x_{79} = 48
x80=16x_{80} = 16
x81=20x_{81} = 20
x82=2x_{82} = 2
x83=96x_{83} = 96
x84=−26x_{84} = -26
x85=−92x_{85} = -92
x86=−96x_{86} = -96
x87=−8x_{87} = -8
x88=58x_{88} = 58
x89=76x_{89} = 76
x90=−88x_{90} = -88
x91=8x_{91} = 8
x92=−16x_{92} = -16
x93=100x_{93} = 100
x94=−24x_{94} = -24
x95=42x_{95} = 42
x96=84x_{96} = 84
x97=−62x_{97} = -62
x98=56x_{98} = 56
x99=−58x_{99} = -58
x100=−72x_{100} = -72
x101=44x_{101} = 44
Зн. экстремумы в точках:
(34, 1)

(92, 1)

(-100, -1)

(12, 1)

(80, 1)

(4, 1)

(70, 1)

(-82, -1)

(90, 1)

(-14, -1)

(-78, -1)

(-90, -1)

(-46, -1)

(-48, -1)

(46, 1)

(66, 1)

(22, 1)

(72, 1)

(-66, -1)

(-4, -1)

(82, 1)

(98, 1)

(74, 1)

(36, 1)

(-70, -1)

(-54, -1)

(-74, -1)

(-30, -1)

(-32, -1)

(-12, -1)

(52, 1)

(32, 1)

(-60, -1)

(-20, -1)

(40, 1)

(68, 1)

(-86, -1)

(-34, -1)

(24, 1)

(-10, -1)

(18, 1)

(-44, -1)

(62, 1)

(-76, -1)

(50, 1)

(-2, -1)

(88, 1)

(10, 1)

(-94, -1)

(-56, -1)

(-52, -1)

(0, -1)

(-80, -1)

(-36, -1)

(78, 1)

(54, 1)

(60, 1)

(-64, -1)

(-40, -1)

(-68, -1)

(26, 1)

(28, 1)

(-38, -1)

(-42, -1)

(-22, -1)

(-84, -1)

(-50, -1)

(38, 1)

(64, 1)

(30, 1)

(14, 1)

(86, 1)

(-6, -1)

(-98, -1)

(-28, -1)

(6, 1)

(-18, -1)

(94, 1)

(48, 1)

(16, 1)

(20, 1)

(2, 1)

(96, 1)

(-26, -1)

(-92, -1)

(-96, -1)

(-8, -1)

(58, 1)

(76, 1)

(-88, -1)

(8, 1)

(-16, -1)

(100, 1)

(-24, -1)

(42, 1)

(84, 1)

(-62, -1)

(56, 1)

(-58, -1)

(-72, -1)

(44, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x101=−30x_{101} = -30
x101=−86x_{101} = -86
x101=50x_{101} = 50
x101=−62x_{101} = -62
Максимумы функции в точках:
x101=−48x_{101} = -48
x101=88x_{101} = 88
x101=64x_{101} = 64
Убывает на промежутках
[50, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -86]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = 1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(x−1∣x−1∣)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{\left|{x - 1}\right|}\right) = -1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(x−1∣x−1∣)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{\left|{x - 1}\right|}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1)/|x - 1|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−1x∣x−1∣)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x \left|{x - 1}\right|}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(x−1x∣x−1∣)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x \left|{x - 1}\right|}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x−1∣x−1∣=−x−1∣x+1∣\frac{x - 1}{\left|{x - 1}\right|} = \frac{- x - 1}{\left|{x + 1}\right|}
- Нет
x−1∣x−1∣=−−x−1∣x+1∣\frac{x - 1}{\left|{x - 1}\right|} = - \frac{- x - 1}{\left|{x + 1}\right|}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной