График функции y = (x-5)^2+2

Вы ввели

              2    
f(x) = (x - 5)  + 2

$$f{\left(x \right)} = \left(x - 5\right)^{2} + 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 5\right)^{2} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 1*5)^2 + 2.
$$2 + \left(\left(-1\right) 5 + 0\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 27$$
Точка:

(0, 27)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$2 x - 10 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:

               2 
(5, 2 + (5 - 5) )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[5, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 5\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 5\right)^{2} + 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 5\right)^{2} + 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1*5)^2 + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 5\right)^{2} + 2}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 5\right)^{2} + 2}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x - 5\right)^{2} + 2 = \left(- x - 5\right)^{2} + 2$$
- Нет
$$\left(x - 5\right)^{2} + 2 = - \left(- x - 5\right)^{2} - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График