График функции y = x-sin(x)

Вы ввели

f(x) = x - sin(x)

$$f{\left (x \right )} = x - \sin{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x - \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0.000186205615884$$
$$x_{2} = 0.000196758597792$$
$$x_{3} = -8.95231865768 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -2.1240493551 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = -0.000184329580775$$
$$x_{6} = -0.000165445288811$$
$$x_{7} = 0.000115526349792$$
$$x_{8} = -1.98408831576 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = -0.000175577662192$$
$$x_{10} = 0.000132920718925$$
$$x_{11} = 3.89118697646 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{12} = -2.5212491753 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = 0.000157056351702$$
$$x_{14} = 0.000103586989847$$
$$x_{15} = -0.000135184808719$$
$$x_{16} = -0.000153828220061$$
$$x_{17} = -3.17741918727 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = -0.00015769682802$$
$$x_{19} = -0.000181578586038$$
$$x_{20} = -8.65514725284 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = -1.46863857904 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{22} = 2.49127326984 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{23} = -2.30650948881 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = 0.000192883233097$$
$$x_{25} = 0.000187685112067$$
$$x_{26} = -0.000119373030238$$
$$x_{27} = 0.000116491909676$$
$$x_{28} = -1.80175000296 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = 9.87747756721 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -1.47286646559 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -0.000139957949205$$
$$x_{32} = -0.000152751605226$$
$$x_{33} = 0.000158265439062$$
$$x_{34} = 0.000137906691428$$
$$x_{35} = -9.83485862207 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{36} = 0$$
$$x_{37} = -0.000150650416849$$
$$x_{38} = 0.000181808449257$$
$$x_{39} = 0.000147410258149$$
$$x_{40} = -0.000101863601828$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x - sin(x).
$$- \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \cos{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

(2*pi, 2*pi)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, pi]

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sin{\left (x \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sin{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x - \sin{\left (x \right )} = - x + \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
$$x - \sin{\left (x \right )} = - -1 x - \sin{\left (x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной