Графики функций/ Построение в 2D/ y = x-sin(x)

График функции y = x-sin(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = x - sin(x)
f(x)=x−sin⁡(x)f{\left (x \right )} = x - \sin{\left (x \right )}
График функции
1777.51780.01782.51785.01787.51790.01792.51795.01797.51800.017751825
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x−sin⁡(x)=0x - \sin{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=0.000186205615884x_{1} = 0.000186205615884
x2=0.000196758597792x_{2} = 0.000196758597792
x3=−8.95231865768⋅10−5x_{3} = -8.95231865768 \cdot 10^{-5}
x4=−2.1240493551⋅10−5x_{4} = -2.1240493551 \cdot 10^{-5}
x5=−0.000184329580775x_{5} = -0.000184329580775
x6=−0.000165445288811x_{6} = -0.000165445288811
x7=0.000115526349792x_{7} = 0.000115526349792
x8=−1.98408831576⋅10−5x_{8} = -1.98408831576 \cdot 10^{-5}
x9=−0.000175577662192x_{9} = -0.000175577662192
x10=0.000132920718925x_{10} = 0.000132920718925
x11=3.89118697646⋅10−6x_{11} = 3.89118697646 \cdot 10^{-6}
x12=−2.5212491753⋅10−5x_{12} = -2.5212491753 \cdot 10^{-5}
x13=0.000157056351702x_{13} = 0.000157056351702
x14=0.000103586989847x_{14} = 0.000103586989847
x15=−0.000135184808719x_{15} = -0.000135184808719
x16=−0.000153828220061x_{16} = -0.000153828220061
x17=−3.17741918727⋅10−5x_{17} = -3.17741918727 \cdot 10^{-5}
x18=−0.00015769682802x_{18} = -0.00015769682802
x19=−0.000181578586038x_{19} = -0.000181578586038
x20=−8.65514725284⋅10−5x_{20} = -8.65514725284 \cdot 10^{-5}
x21=−1.46863857904⋅10−6x_{21} = -1.46863857904 \cdot 10^{-6}
x22=2.49127326984⋅10−5x_{22} = 2.49127326984 \cdot 10^{-5}
x23=−2.30650948881⋅10−5x_{23} = -2.30650948881 \cdot 10^{-5}
x24=0.000192883233097x_{24} = 0.000192883233097
x25=0.000187685112067x_{25} = 0.000187685112067
x26=−0.000119373030238x_{26} = -0.000119373030238
x27=0.000116491909676x_{27} = 0.000116491909676
x28=−1.80175000296⋅10−5x_{28} = -1.80175000296 \cdot 10^{-5}
x29=9.87747756721⋅10−5x_{29} = 9.87747756721 \cdot 10^{-5}
x30=−1.47286646559⋅10−5x_{30} = -1.47286646559 \cdot 10^{-5}
x31=−0.000139957949205x_{31} = -0.000139957949205
x32=−0.000152751605226x_{32} = -0.000152751605226
x33=0.000158265439062x_{33} = 0.000158265439062
x34=0.000137906691428x_{34} = 0.000137906691428
x35=−9.83485862207⋅10−5x_{35} = -9.83485862207 \cdot 10^{-5}
x36=0x_{36} = 0
x37=−0.000150650416849x_{37} = -0.000150650416849
x38=0.000181808449257x_{38} = 0.000181808449257
x39=0.000147410258149x_{39} = 0.000147410258149
x40=−0.000101863601828x_{40} = -0.000101863601828
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x - sin(x).
−sin⁡(0)- \sin{\left (0 \right )}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
−cos⁡(x)+1=0- \cos{\left (x \right )} + 1 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(2*pi, 2*pi)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
sin⁡(x)=0\sin{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, pi]

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0] U [pi, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(x−sin⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sin{\left (x \right )}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
lim⁡x→∞(x−sin⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x - \sin{\left (x \right )}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlim⁡x→−∞(1x(x−sin⁡(x)))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlim⁡x→∞(1x(x−sin⁡(x)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x−sin⁡(x)=−x+sin⁡(x)x - \sin{\left (x \right )} = - x + \sin{\left (x \right )}
- Нет
x−sin⁡(x)=−−1x−sin⁡(x)x - \sin{\left (x \right )} = - -1 x - \sin{\left (x \right )}
- Да
значит, функция
является
нечётной