График функции y = x+acot(x)/2

Вы ввели

           acot(x)
f(x) = x + -------
              2   

$$f{\left (x \right )} = x + \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + acot(x)/2.
$$\frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{\pi}{4}$$
Точка:

(0, pi/4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$1 - \frac{1}{2 x^{2} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (x \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + acot(x)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (x \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (x \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (x \right )} = - x - \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (x \right )}$$
- Нет
$$x + \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (x \right )} = - -1 x - - \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной