График функции y = x+2/x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
           2
f(x) = x + -
           x
f(x)=x+2xf{\left (x \right )} = x + \frac{2}{x}
График функции
05-15-10-51015-5050
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x+2x=0x + \frac{2}{x} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + 2/x.
20\frac{2}{0}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
12x2=01 - \frac{2}{x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Зн. экстремумы в точках:
    ___       ___ 
(-\/ 2, -2*\/ 2 )

   ___      ___ 
(\/ 2, 2*\/ 2 )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Максимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = - \sqrt{2}
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(2)] U [sqrt(2), oo)

Возрастает на промежутках
[-sqrt(2), sqrt(2)]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
4x3=0\frac{4}{x^{3}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x+2x)=\lim_{x \to -\infty}\left(x + \frac{2}{x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x+2x)=\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{2}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + 2/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x+2x))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \frac{2}{x}\right)\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = x
limx(1x(x+2x))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \frac{2}{x}\right)\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x+2x=x2xx + \frac{2}{x} = - x - \frac{2}{x}
- Нет
x+2x=1x2xx + \frac{2}{x} = - -1 x - - \frac{2}{x}
- Да
значит, функция
является
нечётной