График функции y = (x+2)/x^2

Вы ввели

       x + 2
f(x) = -----
          2 
         x  

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x^{2}} \left(x + 2\right)$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x^{2}} \left(x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 2)/x^2.
$$\frac{2}{0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} \left(2 x + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
Зн. экстремумы в точках:

(-4, -1/8)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -4$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-4, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{3}} \left(-4 + \frac{1}{x} \left(6 x + 12\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -6$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{3}} \left(-4 + \frac{1}{x} \left(6 x + 12\right)\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{3}} \left(-4 + \frac{1}{x} \left(6 x + 12\right)\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-6, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -6]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 2)/x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{3}} \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{3}} \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x^{2}} \left(x + 2\right) = \frac{1}{x^{2}} \left(- x + 2\right)$$
- Нет
$$\frac{1}{x^{2}} \left(x + 2\right) = - \frac{1}{x^{2}} \left(- x + 2\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной