График функции y = ((x+2)/x)^2

Вы ввели

              2
       /x + 2\ 
f(x) = |-----| 
       \  x  / 

$$f{\left (x \right )} = \left(\frac{1}{x} \left(x + 2\right)\right)^{2}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(\frac{1}{x} \left(x + 2\right)\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.00000084366$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -1.99999901416$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x + 2)/x)^2.
$$\left(\frac{2}{0}\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\frac{1}{x} \left(x + 2\right)^{2}}{x + 2} \left(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(2 x + 4\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x + 6\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x + 6\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 2\right)\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(3 x + 6\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 2\right)\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-3, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -3]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{x} \left(x + 2\right)\right)^{2} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x} \left(x + 2\right)\right)^{2} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x + 2)/x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}}}{x} \left(x + 2\right)^{2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}}}{x} \left(x + 2\right)^{2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(\frac{1}{x} \left(x + 2\right)\right)^{2} = \frac{1}{x^{2}} \left(- x + 2\right)^{2}$$
- Нет
$$\left(\frac{1}{x} \left(x + 2\right)\right)^{2} = - \frac{1}{x^{2}} \left(- x + 2\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной