График функции y = x+sqrt(1-x)

Вы ввели

             _______
f(x) = x + \/ 1 - x 

$$f{\left (x \right )} = x + \sqrt{- x + 1}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \sqrt{- x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.61803398875$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + sqrt(1 - x).
$$\sqrt{- 0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$1 - \frac{1}{2 \sqrt{- x + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

(3/4, 5/4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 3/4]

Возрастает на промежутках

[3/4, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{4 \left(- x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \sqrt{- x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \sqrt{- x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + sqrt(1 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \sqrt{- x + 1}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \sqrt{- x + 1}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \sqrt{- x + 1} = - x + \sqrt{x + 1}$$
- Нет
$$x + \sqrt{- x + 1} = - -1 x - \sqrt{x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной