График функции y = (x+log(x))^x

Вы ввели

                   x
f(x) = (x + log(x)) 

$$f{\left (x \right )} = \left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{x}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{LambertW}{\left (1 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + log(x))^x.
$$\log^{0}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{x} \left(\frac{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}{x + \log{\left (x \right )}} + \log{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{x} \left(\left(\frac{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}{x + \log{\left (x \right )}} + \log{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )}\right)^{2} - \frac{1}{x + \log{\left (x \right )}} \left(\frac{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}{x + \log{\left (x \right )}} - 2 - \frac{1}{x}\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.798220992456$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0.798220992456, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0.798220992456]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{x} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{x} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + log(x))^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{x} = \left(- x + \log{\left (- x \right )}\right)^{- x}$$
- Нет
$$\left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{x} = - \left(- x + \log{\left (- x \right )}\right)^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной