График функции y = x+(|x|)+3

Вы ввели

f(x) = x + |x| + 3

$$f{\left (x \right )} = x + \left|{x}\right| + 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \left|{x}\right| + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + |x| + 3.
$$\left|{0}\right| + 3$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\operatorname{sign}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -32$$
$$x_{2} = -12$$
$$x_{3} = -100$$
$$x_{4} = -46$$
$$x_{5} = -50$$
$$x_{6} = -88$$
$$x_{7} = -18$$
$$x_{8} = -98$$
$$x_{9} = -82$$
$$x_{10} = -60$$
$$x_{11} = -64$$
$$x_{12} = -40$$
$$x_{13} = -14$$
$$x_{14} = -92$$
$$x_{15} = -90$$
$$x_{16} = -56$$
$$x_{17} = -96$$
$$x_{18} = -48$$
$$x_{19} = -8$$
$$x_{20} = -58$$
$$x_{21} = -24$$
$$x_{22} = -68$$
$$x_{23} = -34$$
$$x_{24} = -66$$
$$x_{25} = -10$$
$$x_{26} = -52$$
$$x_{27} = -38$$
$$x_{28} = -42$$
$$x_{29} = -44$$
$$x_{30} = -0.25$$
$$x_{31} = -4$$
$$x_{32} = -6$$
$$x_{33} = -84$$
$$x_{34} = -76$$
$$x_{35} = -22$$
$$x_{36} = -62$$
$$x_{37} = -54$$
$$x_{38} = -16$$
$$x_{39} = -86$$
$$x_{40} = -26$$
$$x_{41} = -2$$
$$x_{42} = -94$$
$$x_{43} = -20$$
$$x_{44} = -70$$
$$x_{45} = -72$$
$$x_{46} = -28$$
$$x_{47} = -74$$
$$x_{48} = -80$$
$$x_{49} = -36$$
$$x_{50} = -78$$
$$x_{51} = -30$$
Зн. экстремумы в точках:

(-32, 3)

(-12, 3)

(-100, 3)

(-46, 3)

(-50, 3)

(-88, 3)

(-18, 3)

(-98, 3)

(-82, 3)

(-60, 3)

(-64, 3)

(-40, 3)

(-14, 3)

(-92, 3)

(-90, 3)

(-56, 3)

(-96, 3)

(-48, 3)

(-8, 3)

(-58, 3)

(-24, 3)

(-68, 3)

(-34, 3)

(-66, 3)

(-10, 3)

(-52, 3)

(-38, 3)

(-42, 3)

(-44, 3)

(-0.25, 3)

(-4, 3)

(-6, 3)

(-84, 3)

(-76, 3)

(-22, 3)

(-62, 3)

(-54, 3)

(-16, 3)

(-86, 3)

(-26, 3)

(-2, 3)

(-94, 3)

(-20, 3)

(-70, 3)

(-72, 3)

(-28, 3)

(-74, 3)

(-80, 3)

(-36, 3)

(-78, 3)

(-30, 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \left|{x}\right| + 3\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \left|{x}\right| + 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + |x| + 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \left|{x}\right| + 3\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \left|{x}\right| + 3\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \left|{x}\right| + 3 = - x + \left|{x}\right| + 3$$
- Нет
$$x + \left|{x}\right| + 3 = - -1 x - \left|{x}\right| - 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной