График функции y = x+(1/x^2)

Вы ввели

             1 
f(x) = x + 1*--
              2
             x 

$$f{\left(x \right)} = x + 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + 1/x^2.
$$0 + 1 \cdot \frac{1}{0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$1 - \frac{2}{x x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

          3 ___ 
 3 ___  3*\/ 2  
(\/ 2, -------)
           2    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \sqrt[3]{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + 1/x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} = - x + \frac{1}{x^{2}}$$
- Нет
$$x + 1 \cdot \frac{1}{x^{2}} = x - \frac{1}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График