График функции y = (x+1+log(x))/x

Вы ввели

       x + 1 + log(x)
f(x) = --------------
             x       

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x} \left(x + 1 + \log{\left (x \right )}\right)$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x} \left(x + 1 + \log{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{LambertW}{\left (e^{-1} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.278464542761$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1 + log(x))/x.
$$\frac{1}{0} \left(\log{\left (0 \right )} + 1\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{1}{x} \left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1 + \log{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, 2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках

(-oo, 1]

Возрастает на промежутках

[1, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 x + 2 \log{\left (x \right )} + 2\right) - \frac{3}{x}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 x + 2 \log{\left (x \right )} + 2\right) - \frac{3}{x}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 x + 2 \log{\left (x \right )} + 2\right) - \frac{3}{x}\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[exp(1/2), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, exp(1/2)]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1 + \log{\left (x \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1 + \log{\left (x \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1 + log(x))/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(x + 1 + \log{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(x + 1 + \log{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x} \left(x + 1 + \log{\left (x \right )}\right) = - \frac{1}{x} \left(- x + \log{\left (- x \right )} + 1\right)$$
- Нет
$$\frac{1}{x} \left(x + 1 + \log{\left (x \right )}\right) = - \frac{1}{x} \left(x - \log{\left (- x \right )} - 1\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной