Графики функций/ Построение в 2D/ y = (x+1)*e^x

График функции y = (x+1)*e^x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                x
f(x) = (x + 1)*E
f(x)=ex(x+1)f{\left (x \right )} = e^{x} \left(x + 1\right)
График функции
-1300-1200-1100-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-100-0.00000105e-7
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
ex(x+1)=0e^{x} \left(x + 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=−1x_{1} = -1
Численное решение
x1=−87.1579732739x_{1} = -87.1579732739
x2=−69.2515753571x_{2} = -69.2515753571
x3=−121.067305958x_{3} = -121.067305958
x4=−95.1297833838x_{4} = -95.1297833838
x5=−71.2382302561x_{5} = -71.2382302561
x6=−32.1756177264x_{6} = -32.1756177264
x7=−73.2257989645x_{7} = -73.2257989645
x8=−57.3581866464x_{8} = -57.3581866464
x9=−97.1235868162x_{9} = -97.1235868162
x10=−89.1503604018x_{10} = -89.1503604018
x11=−49.471165545x_{11} = -49.471165545
x12=−81.1835505143x_{12} = -81.1835505143
x13=−53.4086841814x_{13} = -53.4086841814
x14=−101.112049516x_{14} = -101.112049516
x15=−51.4381699085x_{15} = -51.4381699085
x16=−65.2814467336x_{16} = -65.2814467336
x17=−35.8971886856x_{17} = -35.8971886856
x18=−39.721544017x_{18} = -39.721544017
x19=−34.0182140925x_{19} = -34.0182140925
x20=−59.3363893374x_{20} = -59.3363893374
x21=−41.6553752444x_{21} = -41.6553752444
x22=−61.3164867534x_{22} = -61.3164867534
x23=−91.14314419x_{23} = -91.14314419
x24=−1x_{24} = -1
x25=−119.071013554x_{25} = -119.071013554
x26=−115.0788689x_{26} = -115.0788689
x27=−63.2982393477x_{27} = -63.2982393477
x28=−43.5991101905x_{28} = -43.5991101905
x29=−75.2141900449x_{29} = -75.2141900449
x30=−37.8006485741x_{30} = -37.8006485741
x31=−113.083034468x_{31} = -113.083034468
x32=−107.096605848x_{32} = -107.096605848
x33=−47.5083552648x_{33} = -47.5083552648
x34=−85.1660166223x_{34} = -85.1660166223
x35=−105.101527352x_{35} = -105.101527352
x36=−55.3821676071x_{36} = -55.3821676071
x37=−79.193131129x_{37} = -79.193131129
x38=−45.5506189942x_{38} = -45.5506189942
x39=−99.1176822742x_{39} = -99.1176822742
x40=−109.091891598x_{40} = -109.091891598
x41=−103.106670134x_{41} = -103.106670134
x42=−83.174528242x_{42} = -83.174528242
x43=−117.074865014x_{43} = -117.074865014
x44=−111.087371742x_{44} = -111.087371742
x45=−77.2033239479x_{45} = -77.2033239479
x46=−67.2659399233x_{46} = -67.2659399233
x47=−93.1362942897x_{47} = -93.1362942897
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)*E^x.
e0e^{0}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
ex+(x+1)ex=0e^{x} + \left(x + 1\right) e^{x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−2x_{1} = -2
Зн. экстремумы в точках:
       -2 
(-2, -e  )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=−2x_{1} = -2
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[-2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
(x+3)ex=0\left(x + 3\right) e^{x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−3x_{1} = -3

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-3, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -3]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(ex(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(x + 1\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex(x+1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(x + 1\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)*E^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(exx(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \left(x + 1\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(exx(x+1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \left(x + 1\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
ex(x+1)=(−x+1)e−xe^{x} \left(x + 1\right) = \left(- x + 1\right) e^{- x}
- Нет
ex(x+1)=−(−x+1)e−xe^{x} \left(x + 1\right) = - \left(- x + 1\right) e^{- x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной