График функции y = (x+1)*e^x

Вы ввели

                x
f(x) = (x + 1)*E 

$$f{\left (x \right )} = e^{x} \left(x + 1\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x} \left(x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -87.1579732739$$
$$x_{2} = -69.2515753571$$
$$x_{3} = -121.067305958$$
$$x_{4} = -95.1297833838$$
$$x_{5} = -71.2382302561$$
$$x_{6} = -32.1756177264$$
$$x_{7} = -73.2257989645$$
$$x_{8} = -57.3581866464$$
$$x_{9} = -97.1235868162$$
$$x_{10} = -89.1503604018$$
$$x_{11} = -49.471165545$$
$$x_{12} = -81.1835505143$$
$$x_{13} = -53.4086841814$$
$$x_{14} = -101.112049516$$
$$x_{15} = -51.4381699085$$
$$x_{16} = -65.2814467336$$
$$x_{17} = -35.8971886856$$
$$x_{18} = -39.721544017$$
$$x_{19} = -34.0182140925$$
$$x_{20} = -59.3363893374$$
$$x_{21} = -41.6553752444$$
$$x_{22} = -61.3164867534$$
$$x_{23} = -91.14314419$$
$$x_{24} = -1$$
$$x_{25} = -119.071013554$$
$$x_{26} = -115.0788689$$
$$x_{27} = -63.2982393477$$
$$x_{28} = -43.5991101905$$
$$x_{29} = -75.2141900449$$
$$x_{30} = -37.8006485741$$
$$x_{31} = -113.083034468$$
$$x_{32} = -107.096605848$$
$$x_{33} = -47.5083552648$$
$$x_{34} = -85.1660166223$$
$$x_{35} = -105.101527352$$
$$x_{36} = -55.3821676071$$
$$x_{37} = -79.193131129$$
$$x_{38} = -45.5506189942$$
$$x_{39} = -99.1176822742$$
$$x_{40} = -109.091891598$$
$$x_{41} = -103.106670134$$
$$x_{42} = -83.174528242$$
$$x_{43} = -117.074865014$$
$$x_{44} = -111.087371742$$
$$x_{45} = -77.2033239479$$
$$x_{46} = -67.2659399233$$
$$x_{47} = -93.1362942897$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)*E^x.
$$e^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$e^{x} + \left(x + 1\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:

       -2 
(-2, -e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(x + 3\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-3, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(x + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)*E^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \left(x + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x} \left(x + 1\right) = \left(- x + 1\right) e^{- x}$$
- Нет
$$e^{x} \left(x + 1\right) = - \left(- x + 1\right) e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной