График функции y = (x+1)*cos(x)

Вы ввели

f(x) = (x + 1)*cos(x)

$$f{\left (x \right )} = \left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = 39.2699081699$$
$$x_{3} = 51.8362787842$$
$$x_{4} = 86.3937979737$$
$$x_{5} = -17.2787595947$$
$$x_{6} = 45.5530934771$$
$$x_{7} = 61.261056745$$
$$x_{8} = 83.2522053201$$
$$x_{9} = -70.6858347058$$
$$x_{10} = -89.5353906273$$
$$x_{11} = -4.71238898038$$
$$x_{12} = 76.9690200129$$
$$x_{13} = -32.9867228627$$
$$x_{14} = 17.2787595947$$
$$x_{15} = -48.6946861306$$
$$x_{16} = -80.1106126665$$
$$x_{17} = -42.4115008235$$
$$x_{18} = -58.1194640914$$
$$x_{19} = 58.1194640914$$
$$x_{20} = -95.8185759345$$
$$x_{21} = 95.8185759345$$
$$x_{22} = -36.1283155163$$
$$x_{23} = -64.4026493986$$
$$x_{24} = 36.1283155163$$
$$x_{25} = -61.261056745$$
$$x_{26} = -92.6769832809$$
$$x_{27} = 32.9867228627$$
$$x_{28} = -14.1371669412$$
$$x_{29} = 80.1106126665$$
$$x_{30} = 4.71238898038$$
$$x_{31} = 10.9955742876$$
$$x_{32} = 7.85398163397$$
$$x_{33} = 23.5619449019$$
$$x_{34} = -39.2699081699$$
$$x_{35} = 64.4026493986$$
$$x_{36} = -73.8274273594$$
$$x_{37} = 20.4203522483$$
$$x_{38} = -26.7035375555$$
$$x_{39} = -83.2522053201$$
$$x_{40} = -98.9601685881$$
$$x_{41} = 48.6946861306$$
$$x_{42} = 67.5442420522$$
$$x_{43} = 98.9601685881$$
$$x_{44} = -45.5530934771$$
$$x_{45} = -51.8362787842$$
$$x_{46} = -67.5442420522$$
$$x_{47} = 54.9778714378$$
$$x_{48} = 26.7035375555$$
$$x_{49} = 92.6769832809$$
$$x_{50} = -86.3937979737$$
$$x_{51} = -20.4203522483$$
$$x_{52} = -7.85398163397$$
$$x_{53} = -1$$
$$x_{54} = -76.9690200129$$
$$x_{55} = 89.5353906273$$
$$x_{56} = -10.9955742876$$
$$x_{57} = -1.57079632679$$
$$x_{58} = -23.5619449019$$
$$x_{59} = 73.8274273594$$
$$x_{60} = 70.6858347058$$
$$x_{61} = 29.8451302091$$
$$x_{62} = 42.4115008235$$
$$x_{63} = -108.384946549$$
$$x_{64} = 139.800873085$$
$$x_{65} = 1.57079632679$$
$$x_{66} = -29.8451302091$$
$$x_{67} = 14.1371669412$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)*cos(x).
$$\cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \left(x + 1\right) \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 50.2849788736$$
$$x_{2} = -6.46419193189$$
$$x_{3} = 44.004513488$$
$$x_{4} = -1.28924004659$$
$$x_{5} = -75.411661631$$
$$x_{6} = -81.6938008847$$
$$x_{7} = 28.308440515$$
$$x_{8} = 12.6395558423$$
$$x_{9} = 25.1709329795$$
$$x_{10} = 62.8475141082$$
$$x_{11} = -94.2585020797$$
$$x_{12} = -50.2857695062$$
$$x_{13} = 22.0345344088$$
$$x_{14} = 69.1292967885$$
$$x_{15} = 78.5523860109$$
$$x_{16} = -44.0055457757$$
$$x_{17} = -18.905347201$$
$$x_{18} = 40.8645864924$$
$$x_{19} = 18.8997655344$$
$$x_{20} = -62.8480203293$$
$$x_{21} = 59.7067315663$$
$$x_{22} = -9.54132523093$$
$$x_{23} = -53.4261472497$$
$$x_{24} = 87.9758328342$$
$$x_{25} = -97.3997453606$$
$$x_{26} = -69.1297152082$$
$$x_{27} = -22.0386444079$$
$$x_{28} = -37.7263335362$$
$$x_{29} = 31.4467365239$$
$$x_{30} = 9.51955422262$$
$$x_{31} = 84.8346514264$$
$$x_{32} = 94.2582769975$$
$$x_{33} = -91.1172831492$$
$$x_{34} = 100.540812853$$
$$x_{35} = 47.1446575542$$
$$x_{36} = -28.3109329054$$
$$x_{37} = 56.5660373713$$
$$x_{38} = -59.7072924301$$
$$x_{39} = -84.8349292836$$
$$x_{40} = -34.5872835696$$
$$x_{41} = -3.51943605007$$
$$x_{42} = 91.1170422822$$
$$x_{43} = -65.9888317704$$
$$x_{44} = -100.541010688$$
$$x_{45} = 34.5856130401$$
$$x_{46} = 15.7675317799$$
$$x_{47} = -56.5666622243$$
$$x_{48} = 53.425446802$$
$$x_{49} = 75.411310007$$
$$x_{50} = -87.9760912065$$
$$x_{51} = -40.8657834053$$
$$x_{52} = 72.2702782841$$
$$x_{53} = -31.4487567991$$
$$x_{54} = 6.41719900457$$
$$x_{55} = 65.9883725805$$
$$x_{56} = -25.1740842709$$
$$x_{57} = 97.3995345611$$
$$x_{58} = 3.36671587755$$
$$x_{59} = -15.7755396389$$
$$x_{60} = -78.5527100811$$
$$x_{61} = -72.2706611309$$
$$x_{62} = -12.6519831342$$
$$x_{63} = 81.6935012526$$
$$x_{64} = -47.1455569712$$
$$x_{65} = 37.7249292643$$
$$x_{66} = 0.567782020656$$
Зн. экстремумы в точках:

(50.2849788736, 51.2752322094434)

(-6.46419193189, -5.37492331226648)

(44.004513488, 44.9934076035393)

(-1.28924004659, -0.0803656318022443)

(-75.411661631, -74.404943164129)

(-81.6938008847, -80.6876053354428)

(28.308440515, -29.2913954640856)

(12.6395558423, 13.6030448832755)

(25.1709329795, 26.151848709355)

(62.8475141082, 63.8396843902331)

(-94.2585020797, -93.2531411005143)

(-50.2857695062, -49.2756277212557)

(22.0345344088, -23.0128585051561)

(69.1292967885, 70.1221681876335)

(78.5523860109, -79.5461015890774)

(-44.0055457757, -42.9939240808542)

(-18.905347201, -17.8774877381006)

(40.8645864924, -41.8526483322311)

(18.8997655344, 19.8746870972057)

(-62.8480203293, -61.8399375809263)

(59.7067315663, -60.6984969232027)

(-9.54132523093, 8.4833813173875)

(-53.4261472497, 52.416612625628)

(87.9758328342, 88.9702138631012)

(-97.3997453606, 96.3945590434741)

(-69.1297152082, -68.1223774522408)

(-22.0386444079, 21.0149188120813)

(-37.7263335362, -36.7127268920407)

(31.4467365239, 32.4313376227909)

(9.51955422262, -10.4723434206105)

(84.8346514264, -85.8288268660524)

(94.2582769975, 95.2530285435994)

(-91.1172831492, 90.1117353362952)

(100.540812853, 101.535889083058)

(47.1446575542, -48.1342755450787)

(-28.3109329054, 27.2926436069057)

(56.5660373713, 57.5573536597393)

(-59.7072924301, 58.6987774534709)

(-84.8349292836, 83.8289658187847)

(-34.5872835696, 33.5724068729686)

(-3.51943605007, 2.34172108723281)

(91.1170422822, -92.1116148846623)

(-65.9888317704, 64.9811395066923)

(-100.541010688, -99.5359880123945)

(34.5856130401, -35.5715707342139)

(15.7675317799, -16.7377915569281)

(-56.5666622243, -55.5576662083376)

(53.425446802, -54.4162622483496)

(75.411310007, 76.4047673134395)

(-87.9760912065, -86.9703430700788)

(-40.8657834053, 39.8532472370851)

(72.2702782841, -73.2634551878583)

(-31.4487567991, -30.4323490392631)

(6.41719900457, 7.35069340165152)

(65.9883725805, -66.9809098458042)

(-25.1740842709, -24.1534274712866)

(97.3995345611, -98.3944536298525)

(3.36671587755, -4.25652882239464)

(-15.7755396389, 14.7418157375505)

(-78.5527100811, 77.5462636569844)

(-72.2706611309, 71.2636466570958)

(-12.6519831342, -11.6093075837448)

(81.6935012526, 82.6874554913451)

(-47.1455569712, 46.1347255066802)

(37.7249292643, 38.7120241387053)

(0.567782020656, 1.32179043078767)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{66} = -6.46419193189$$
$$x_{66} = -1.28924004659$$
$$x_{66} = -75.411661631$$
$$x_{66} = -81.6938008847$$
$$x_{66} = 28.308440515$$
$$x_{66} = -94.2585020797$$
$$x_{66} = -50.2857695062$$
$$x_{66} = 22.0345344088$$
$$x_{66} = 78.5523860109$$
$$x_{66} = -44.0055457757$$
$$x_{66} = -18.905347201$$
$$x_{66} = 40.8645864924$$
$$x_{66} = -62.8480203293$$
$$x_{66} = 59.7067315663$$
$$x_{66} = -69.1297152082$$
$$x_{66} = -37.7263335362$$
$$x_{66} = 9.51955422262$$
$$x_{66} = 84.8346514264$$
$$x_{66} = 47.1446575542$$
$$x_{66} = 91.1170422822$$
$$x_{66} = -100.541010688$$
$$x_{66} = 34.5856130401$$
$$x_{66} = 15.7675317799$$
$$x_{66} = -56.5666622243$$
$$x_{66} = 53.425446802$$
$$x_{66} = -87.9760912065$$
$$x_{66} = 72.2702782841$$
$$x_{66} = -31.4487567991$$
$$x_{66} = 65.9883725805$$
$$x_{66} = -25.1740842709$$
$$x_{66} = 97.3995345611$$
$$x_{66} = 3.36671587755$$
$$x_{66} = -12.6519831342$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{66} = 50.2849788736$$
$$x_{66} = 44.004513488$$
$$x_{66} = 12.6395558423$$
$$x_{66} = 25.1709329795$$
$$x_{66} = 62.8475141082$$
$$x_{66} = 69.1292967885$$
$$x_{66} = 18.8997655344$$
$$x_{66} = -9.54132523093$$
$$x_{66} = -53.4261472497$$
$$x_{66} = 87.9758328342$$
$$x_{66} = -97.3997453606$$
$$x_{66} = -22.0386444079$$
$$x_{66} = 31.4467365239$$
$$x_{66} = 94.2582769975$$
$$x_{66} = -91.1172831492$$
$$x_{66} = 100.540812853$$
$$x_{66} = -28.3109329054$$
$$x_{66} = 56.5660373713$$
$$x_{66} = -59.7072924301$$
$$x_{66} = -84.8349292836$$
$$x_{66} = -34.5872835696$$
$$x_{66} = -3.51943605007$$
$$x_{66} = -65.9888317704$$
$$x_{66} = 75.411310007$$
$$x_{66} = -40.8657834053$$
$$x_{66} = 6.41719900457$$
$$x_{66} = -15.7755396389$$
$$x_{66} = -78.5527100811$$
$$x_{66} = -72.2706611309$$
$$x_{66} = 81.6935012526$$
$$x_{66} = -47.1455569712$$
$$x_{66} = 37.7249292643$$
$$x_{66} = 0.567782020656$$
Убывает на промежутках

[97.3995345611, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -100.541010688]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -67.5742746537$$
$$x_{2} = 70.7137161465$$
$$x_{3} = -11.1893928335$$
$$x_{4} = -89.5579708655$$
$$x_{5} = -76.9953313458$$
$$x_{6} = -73.8548723025$$
$$x_{7} = -33.0490463971$$
$$x_{8} = -5.16048813738$$
$$x_{9} = 51.8740864722$$
$$x_{10} = 48.7348777038$$
$$x_{11} = 98.9801698873$$
$$x_{12} = -23.6500166358$$
$$x_{13} = 29.9097446502$$
$$x_{14} = 73.8541396333$$
$$x_{15} = -86.4172081819$$
$$x_{16} = 58.1532616939$$
$$x_{17} = 33.0454005127$$
$$x_{18} = 89.5574724596$$
$$x_{19} = -83.2765088089$$
$$x_{20} = -61.2942152652$$
$$x_{21} = -26.7809591257$$
$$x_{22} = 8.07099262917$$
$$x_{23} = -51.875570151$$
$$x_{24} = -36.1850966631$$
$$x_{25} = 80.1352578715$$
$$x_{26} = 45.5959892966$$
$$x_{27} = -80.1358802739$$
$$x_{28} = -17.4001107836$$
$$x_{29} = 11.1586068457$$
$$x_{30} = 23.6429266009$$
$$x_{31} = -20.5224422885$$
$$x_{32} = -45.597908603$$
$$x_{33} = -95.8396610331$$
$$x_{34} = 67.5733996148$$
$$x_{35} = -70.7145152693$$
$$x_{36} = -29.9141903979$$
$$x_{37} = 86.4166729137$$
$$x_{38} = 14.2674231119$$
$$x_{39} = -92.698790362$$
$$x_{40} = 2.13819775374$$
$$x_{41} = 5.03252136188$$
$$x_{42} = -58.1544427242$$
$$x_{43} = -64.4341677074$$
$$x_{44} = 95.8392257868$$
$$x_{45} = -8.12754793712$$
$$x_{46} = 92.6983251388$$
$$x_{47} = 42.4574903585$$
$$x_{48} = 20.5130526124$$
$$x_{49} = -14.2865731359$$
$$x_{50} = -0.325342230149$$
$$x_{51} = 17.3871055208$$
$$x_{52} = 83.2759324343$$
$$x_{53} = 39.3194713707$$
$$x_{54} = 26.7754196064$$
$$x_{55} = 55.0135619144$$
$$x_{56} = -55.0148813638$$
$$x_{57} = -48.7365582531$$
$$x_{58} = 64.4332054061$$
$$x_{59} = -98.9805779625$$
$$x_{60} = 61.2931519778$$
$$x_{61} = -2.49855432222$$
$$x_{62} = -42.459703069$$
$$x_{63} = 76.9946571768$$
$$x_{64} = -39.3220501388$$
$$x_{65} = 36.1820531211$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[95.8392257868, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -95.8396610331]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )} = \left(- x + 1\right) \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )} = - \left(- x + 1\right) \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной