Графики функций/ Построение в 2D/ y = (x+1)*cos(x)

График функции y = (x+1)*cos(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = (x + 1)*cos(x)
f(x)=(x+1)cos⁡(x)f{\left (x \right )} = \left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )}
График функции
01002003004005006007008009001000-20002000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(x+1)cos⁡(x)=0\left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=−1x_{1} = -1
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=3π2x_{3} = \frac{3 \pi}{2}
Численное решение
x1=−54.9778714378x_{1} = -54.9778714378
x2=39.2699081699x_{2} = 39.2699081699
x3=51.8362787842x_{3} = 51.8362787842
x4=86.3937979737x_{4} = 86.3937979737
x5=−17.2787595947x_{5} = -17.2787595947
x6=45.5530934771x_{6} = 45.5530934771
x7=61.261056745x_{7} = 61.261056745
x8=83.2522053201x_{8} = 83.2522053201
x9=−70.6858347058x_{9} = -70.6858347058
x10=−89.5353906273x_{10} = -89.5353906273
x11=−4.71238898038x_{11} = -4.71238898038
x12=76.9690200129x_{12} = 76.9690200129
x13=−32.9867228627x_{13} = -32.9867228627
x14=17.2787595947x_{14} = 17.2787595947
x15=−48.6946861306x_{15} = -48.6946861306
x16=−80.1106126665x_{16} = -80.1106126665
x17=−42.4115008235x_{17} = -42.4115008235
x18=−58.1194640914x_{18} = -58.1194640914
x19=58.1194640914x_{19} = 58.1194640914
x20=−95.8185759345x_{20} = -95.8185759345
x21=95.8185759345x_{21} = 95.8185759345
x22=−36.1283155163x_{22} = -36.1283155163
x23=−64.4026493986x_{23} = -64.4026493986
x24=36.1283155163x_{24} = 36.1283155163
x25=−61.261056745x_{25} = -61.261056745
x26=−92.6769832809x_{26} = -92.6769832809
x27=32.9867228627x_{27} = 32.9867228627
x28=−14.1371669412x_{28} = -14.1371669412
x29=80.1106126665x_{29} = 80.1106126665
x30=4.71238898038x_{30} = 4.71238898038
x31=10.9955742876x_{31} = 10.9955742876
x32=7.85398163397x_{32} = 7.85398163397
x33=23.5619449019x_{33} = 23.5619449019
x34=−39.2699081699x_{34} = -39.2699081699
x35=64.4026493986x_{35} = 64.4026493986
x36=−73.8274273594x_{36} = -73.8274273594
x37=20.4203522483x_{37} = 20.4203522483
x38=−26.7035375555x_{38} = -26.7035375555
x39=−83.2522053201x_{39} = -83.2522053201
x40=−98.9601685881x_{40} = -98.9601685881
x41=48.6946861306x_{41} = 48.6946861306
x42=67.5442420522x_{42} = 67.5442420522
x43=98.9601685881x_{43} = 98.9601685881
x44=−45.5530934771x_{44} = -45.5530934771
x45=−51.8362787842x_{45} = -51.8362787842
x46=−67.5442420522x_{46} = -67.5442420522
x47=54.9778714378x_{47} = 54.9778714378
x48=26.7035375555x_{48} = 26.7035375555
x49=92.6769832809x_{49} = 92.6769832809
x50=−86.3937979737x_{50} = -86.3937979737
x51=−20.4203522483x_{51} = -20.4203522483
x52=−7.85398163397x_{52} = -7.85398163397
x53=−1x_{53} = -1
x54=−76.9690200129x_{54} = -76.9690200129
x55=89.5353906273x_{55} = 89.5353906273
x56=−10.9955742876x_{56} = -10.9955742876
x57=−1.57079632679x_{57} = -1.57079632679
x58=−23.5619449019x_{58} = -23.5619449019
x59=73.8274273594x_{59} = 73.8274273594
x60=70.6858347058x_{60} = 70.6858347058
x61=29.8451302091x_{61} = 29.8451302091
x62=42.4115008235x_{62} = 42.4115008235
x63=−108.384946549x_{63} = -108.384946549
x64=139.800873085x_{64} = 139.800873085
x65=1.57079632679x_{65} = 1.57079632679
x66=−29.8451302091x_{66} = -29.8451302091
x67=14.1371669412x_{67} = 14.1371669412
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)*cos(x).
cos⁡(0)\cos{\left (0 \right )}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
−(x+1)sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- \left(x + 1\right) \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=50.2849788736x_{1} = 50.2849788736
x2=−6.46419193189x_{2} = -6.46419193189
x3=44.004513488x_{3} = 44.004513488
x4=−1.28924004659x_{4} = -1.28924004659
x5=−75.411661631x_{5} = -75.411661631
x6=−81.6938008847x_{6} = -81.6938008847
x7=28.308440515x_{7} = 28.308440515
x8=12.6395558423x_{8} = 12.6395558423
x9=25.1709329795x_{9} = 25.1709329795
x10=62.8475141082x_{10} = 62.8475141082
x11=−94.2585020797x_{11} = -94.2585020797
x12=−50.2857695062x_{12} = -50.2857695062
x13=22.0345344088x_{13} = 22.0345344088
x14=69.1292967885x_{14} = 69.1292967885
x15=78.5523860109x_{15} = 78.5523860109
x16=−44.0055457757x_{16} = -44.0055457757
x17=−18.905347201x_{17} = -18.905347201
x18=40.8645864924x_{18} = 40.8645864924
x19=18.8997655344x_{19} = 18.8997655344
x20=−62.8480203293x_{20} = -62.8480203293
x21=59.7067315663x_{21} = 59.7067315663
x22=−9.54132523093x_{22} = -9.54132523093
x23=−53.4261472497x_{23} = -53.4261472497
x24=87.9758328342x_{24} = 87.9758328342
x25=−97.3997453606x_{25} = -97.3997453606
x26=−69.1297152082x_{26} = -69.1297152082
x27=−22.0386444079x_{27} = -22.0386444079
x28=−37.7263335362x_{28} = -37.7263335362
x29=31.4467365239x_{29} = 31.4467365239
x30=9.51955422262x_{30} = 9.51955422262
x31=84.8346514264x_{31} = 84.8346514264
x32=94.2582769975x_{32} = 94.2582769975
x33=−91.1172831492x_{33} = -91.1172831492
x34=100.540812853x_{34} = 100.540812853
x35=47.1446575542x_{35} = 47.1446575542
x36=−28.3109329054x_{36} = -28.3109329054
x37=56.5660373713x_{37} = 56.5660373713
x38=−59.7072924301x_{38} = -59.7072924301
x39=−84.8349292836x_{39} = -84.8349292836
x40=−34.5872835696x_{40} = -34.5872835696
x41=−3.51943605007x_{41} = -3.51943605007
x42=91.1170422822x_{42} = 91.1170422822
x43=−65.9888317704x_{43} = -65.9888317704
x44=−100.541010688x_{44} = -100.541010688
x45=34.5856130401x_{45} = 34.5856130401
x46=15.7675317799x_{46} = 15.7675317799
x47=−56.5666622243x_{47} = -56.5666622243
x48=53.425446802x_{48} = 53.425446802
x49=75.411310007x_{49} = 75.411310007
x50=−87.9760912065x_{50} = -87.9760912065
x51=−40.8657834053x_{51} = -40.8657834053
x52=72.2702782841x_{52} = 72.2702782841
x53=−31.4487567991x_{53} = -31.4487567991
x54=6.41719900457x_{54} = 6.41719900457
x55=65.9883725805x_{55} = 65.9883725805
x56=−25.1740842709x_{56} = -25.1740842709
x57=97.3995345611x_{57} = 97.3995345611
x58=3.36671587755x_{58} = 3.36671587755
x59=−15.7755396389x_{59} = -15.7755396389
x60=−78.5527100811x_{60} = -78.5527100811
x61=−72.2706611309x_{61} = -72.2706611309
x62=−12.6519831342x_{62} = -12.6519831342
x63=81.6935012526x_{63} = 81.6935012526
x64=−47.1455569712x_{64} = -47.1455569712
x65=37.7249292643x_{65} = 37.7249292643
x66=0.567782020656x_{66} = 0.567782020656
Зн. экстремумы в точках:
(50.2849788736, 51.2752322094434)

(-6.46419193189, -5.37492331226648)

(44.004513488, 44.9934076035393)

(-1.28924004659, -0.0803656318022443)

(-75.411661631, -74.404943164129)

(-81.6938008847, -80.6876053354428)

(28.308440515, -29.2913954640856)

(12.6395558423, 13.6030448832755)

(25.1709329795, 26.151848709355)

(62.8475141082, 63.8396843902331)

(-94.2585020797, -93.2531411005143)

(-50.2857695062, -49.2756277212557)

(22.0345344088, -23.0128585051561)

(69.1292967885, 70.1221681876335)

(78.5523860109, -79.5461015890774)

(-44.0055457757, -42.9939240808542)

(-18.905347201, -17.8774877381006)

(40.8645864924, -41.8526483322311)

(18.8997655344, 19.8746870972057)

(-62.8480203293, -61.8399375809263)

(59.7067315663, -60.6984969232027)

(-9.54132523093, 8.4833813173875)

(-53.4261472497, 52.416612625628)

(87.9758328342, 88.9702138631012)

(-97.3997453606, 96.3945590434741)

(-69.1297152082, -68.1223774522408)

(-22.0386444079, 21.0149188120813)

(-37.7263335362, -36.7127268920407)

(31.4467365239, 32.4313376227909)

(9.51955422262, -10.4723434206105)

(84.8346514264, -85.8288268660524)

(94.2582769975, 95.2530285435994)

(-91.1172831492, 90.1117353362952)

(100.540812853, 101.535889083058)

(47.1446575542, -48.1342755450787)

(-28.3109329054, 27.2926436069057)

(56.5660373713, 57.5573536597393)

(-59.7072924301, 58.6987774534709)

(-84.8349292836, 83.8289658187847)

(-34.5872835696, 33.5724068729686)

(-3.51943605007, 2.34172108723281)

(91.1170422822, -92.1116148846623)

(-65.9888317704, 64.9811395066923)

(-100.541010688, -99.5359880123945)

(34.5856130401, -35.5715707342139)

(15.7675317799, -16.7377915569281)

(-56.5666622243, -55.5576662083376)

(53.425446802, -54.4162622483496)

(75.411310007, 76.4047673134395)

(-87.9760912065, -86.9703430700788)

(-40.8657834053, 39.8532472370851)

(72.2702782841, -73.2634551878583)

(-31.4487567991, -30.4323490392631)

(6.41719900457, 7.35069340165152)

(65.9883725805, -66.9809098458042)

(-25.1740842709, -24.1534274712866)

(97.3995345611, -98.3944536298525)

(3.36671587755, -4.25652882239464)

(-15.7755396389, 14.7418157375505)

(-78.5527100811, 77.5462636569844)

(-72.2706611309, 71.2636466570958)

(-12.6519831342, -11.6093075837448)

(81.6935012526, 82.6874554913451)

(-47.1455569712, 46.1347255066802)

(37.7249292643, 38.7120241387053)

(0.567782020656, 1.32179043078767)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x66=−6.46419193189x_{66} = -6.46419193189
x66=−1.28924004659x_{66} = -1.28924004659
x66=−75.411661631x_{66} = -75.411661631
x66=−81.6938008847x_{66} = -81.6938008847
x66=28.308440515x_{66} = 28.308440515
x66=−94.2585020797x_{66} = -94.2585020797
x66=−50.2857695062x_{66} = -50.2857695062
x66=22.0345344088x_{66} = 22.0345344088
x66=78.5523860109x_{66} = 78.5523860109
x66=−44.0055457757x_{66} = -44.0055457757
x66=−18.905347201x_{66} = -18.905347201
x66=40.8645864924x_{66} = 40.8645864924
x66=−62.8480203293x_{66} = -62.8480203293
x66=59.7067315663x_{66} = 59.7067315663
x66=−69.1297152082x_{66} = -69.1297152082
x66=−37.7263335362x_{66} = -37.7263335362
x66=9.51955422262x_{66} = 9.51955422262
x66=84.8346514264x_{66} = 84.8346514264
x66=47.1446575542x_{66} = 47.1446575542
x66=91.1170422822x_{66} = 91.1170422822
x66=−100.541010688x_{66} = -100.541010688
x66=34.5856130401x_{66} = 34.5856130401
x66=15.7675317799x_{66} = 15.7675317799
x66=−56.5666622243x_{66} = -56.5666622243
x66=53.425446802x_{66} = 53.425446802
x66=−87.9760912065x_{66} = -87.9760912065
x66=72.2702782841x_{66} = 72.2702782841
x66=−31.4487567991x_{66} = -31.4487567991
x66=65.9883725805x_{66} = 65.9883725805
x66=−25.1740842709x_{66} = -25.1740842709
x66=97.3995345611x_{66} = 97.3995345611
x66=3.36671587755x_{66} = 3.36671587755
x66=−12.6519831342x_{66} = -12.6519831342
Максимумы функции в точках:
x66=50.2849788736x_{66} = 50.2849788736
x66=44.004513488x_{66} = 44.004513488
x66=12.6395558423x_{66} = 12.6395558423
x66=25.1709329795x_{66} = 25.1709329795
x66=62.8475141082x_{66} = 62.8475141082
x66=69.1292967885x_{66} = 69.1292967885
x66=18.8997655344x_{66} = 18.8997655344
x66=−9.54132523093x_{66} = -9.54132523093
x66=−53.4261472497x_{66} = -53.4261472497
x66=87.9758328342x_{66} = 87.9758328342
x66=−97.3997453606x_{66} = -97.3997453606
x66=−22.0386444079x_{66} = -22.0386444079
x66=31.4467365239x_{66} = 31.4467365239
x66=94.2582769975x_{66} = 94.2582769975
x66=−91.1172831492x_{66} = -91.1172831492
x66=100.540812853x_{66} = 100.540812853
x66=−28.3109329054x_{66} = -28.3109329054
x66=56.5660373713x_{66} = 56.5660373713
x66=−59.7072924301x_{66} = -59.7072924301
x66=−84.8349292836x_{66} = -84.8349292836
x66=−34.5872835696x_{66} = -34.5872835696
x66=−3.51943605007x_{66} = -3.51943605007
x66=−65.9888317704x_{66} = -65.9888317704
x66=75.411310007x_{66} = 75.411310007
x66=−40.8657834053x_{66} = -40.8657834053
x66=6.41719900457x_{66} = 6.41719900457
x66=−15.7755396389x_{66} = -15.7755396389
x66=−78.5527100811x_{66} = -78.5527100811
x66=−72.2706611309x_{66} = -72.2706611309
x66=81.6935012526x_{66} = 81.6935012526
x66=−47.1455569712x_{66} = -47.1455569712
x66=37.7249292643x_{66} = 37.7249292643
x66=0.567782020656x_{66} = 0.567782020656
Убывает на промежутках
[97.3995345611, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -100.541010688]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
−(x+1)cos⁡(x)+2sin⁡(x)=0- \left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−67.5742746537x_{1} = -67.5742746537
x2=70.7137161465x_{2} = 70.7137161465
x3=−11.1893928335x_{3} = -11.1893928335
x4=−89.5579708655x_{4} = -89.5579708655
x5=−76.9953313458x_{5} = -76.9953313458
x6=−73.8548723025x_{6} = -73.8548723025
x7=−33.0490463971x_{7} = -33.0490463971
x8=−5.16048813738x_{8} = -5.16048813738
x9=51.8740864722x_{9} = 51.8740864722
x10=48.7348777038x_{10} = 48.7348777038
x11=98.9801698873x_{11} = 98.9801698873
x12=−23.6500166358x_{12} = -23.6500166358
x13=29.9097446502x_{13} = 29.9097446502
x14=73.8541396333x_{14} = 73.8541396333
x15=−86.4172081819x_{15} = -86.4172081819
x16=58.1532616939x_{16} = 58.1532616939
x17=33.0454005127x_{17} = 33.0454005127
x18=89.5574724596x_{18} = 89.5574724596
x19=−83.2765088089x_{19} = -83.2765088089
x20=−61.2942152652x_{20} = -61.2942152652
x21=−26.7809591257x_{21} = -26.7809591257
x22=8.07099262917x_{22} = 8.07099262917
x23=−51.875570151x_{23} = -51.875570151
x24=−36.1850966631x_{24} = -36.1850966631
x25=80.1352578715x_{25} = 80.1352578715
x26=45.5959892966x_{26} = 45.5959892966
x27=−80.1358802739x_{27} = -80.1358802739
x28=−17.4001107836x_{28} = -17.4001107836
x29=11.1586068457x_{29} = 11.1586068457
x30=23.6429266009x_{30} = 23.6429266009
x31=−20.5224422885x_{31} = -20.5224422885
x32=−45.597908603x_{32} = -45.597908603
x33=−95.8396610331x_{33} = -95.8396610331
x34=67.5733996148x_{34} = 67.5733996148
x35=−70.7145152693x_{35} = -70.7145152693
x36=−29.9141903979x_{36} = -29.9141903979
x37=86.4166729137x_{37} = 86.4166729137
x38=14.2674231119x_{38} = 14.2674231119
x39=−92.698790362x_{39} = -92.698790362
x40=2.13819775374x_{40} = 2.13819775374
x41=5.03252136188x_{41} = 5.03252136188
x42=−58.1544427242x_{42} = -58.1544427242
x43=−64.4341677074x_{43} = -64.4341677074
x44=95.8392257868x_{44} = 95.8392257868
x45=−8.12754793712x_{45} = -8.12754793712
x46=92.6983251388x_{46} = 92.6983251388
x47=42.4574903585x_{47} = 42.4574903585
x48=20.5130526124x_{48} = 20.5130526124
x49=−14.2865731359x_{49} = -14.2865731359
x50=−0.325342230149x_{50} = -0.325342230149
x51=17.3871055208x_{51} = 17.3871055208
x52=83.2759324343x_{52} = 83.2759324343
x53=39.3194713707x_{53} = 39.3194713707
x54=26.7754196064x_{54} = 26.7754196064
x55=55.0135619144x_{55} = 55.0135619144
x56=−55.0148813638x_{56} = -55.0148813638
x57=−48.7365582531x_{57} = -48.7365582531
x58=64.4332054061x_{58} = 64.4332054061
x59=−98.9805779625x_{59} = -98.9805779625
x60=61.2931519778x_{60} = 61.2931519778
x61=−2.49855432222x_{61} = -2.49855432222
x62=−42.459703069x_{62} = -42.459703069
x63=76.9946571768x_{63} = 76.9946571768
x64=−39.3220501388x_{64} = -39.3220501388
x65=36.1820531211x_{65} = 36.1820531211

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[95.8392257868, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -95.8396610331]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)cos⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−∞,∞⟩y = \langle -\infty, \infty\rangle
lim⁡x→∞((x+1)cos⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨−∞,∞⟩y = \langle -\infty, \infty\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(x+1)cos⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=⟨−1,1⟩xy = \langle -1, 1\rangle x
lim⁡x→∞(1x(x+1)cos⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=⟨−1,1⟩xy = \langle -1, 1\rangle x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
(x+1)cos⁡(x)=(−x+1)cos⁡(x)\left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )} = \left(- x + 1\right) \cos{\left (x \right )}
- Нет
(x+1)cos⁡(x)=−(−x+1)cos⁡(x)\left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )} = - \left(- x + 1\right) \cos{\left (x \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной