График функции y = x+sign(x)

Вы ввели

f(x) = x + sign(x)

$$f{\left (x \right )} = x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \operatorname{sign}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + sign(x).
$$\operatorname{sign}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \operatorname{sign}{\left (0 \right )}$$
Точка:

(0, sign(0))

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + sign(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \operatorname{sign}{\left (x \right )} = - x - \operatorname{sign}{\left (x \right )}$$
- Нет
$$x + \operatorname{sign}{\left (x \right )} = - -1 x - - \operatorname{sign}{\left (x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной