График функции y = x+sin(2*x)

Вы ввели

f(x) = x + sin(2*x)

$$f{\left(x \right)} = x + \sin{\left(2 x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + sin(2*x).
$$0 + \sin{\left(2 \cdot 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 \cos{\left(2 x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

       ___      
 pi  \/ 3    pi 
(--, ----- + --)
 3     2     3  

           ___        
 2*pi    \/ 3    2*pi 
(----, - ----- + ----)
  3        2      3   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 4 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \sin{\left(2 x \right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + sin(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \sin{\left(2 x \right)} = - x - \sin{\left(2 x \right)}$$
- Нет
$$x + \sin{\left(2 x \right)} = x + \sin{\left(2 x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График