График функции y = x+(sin(x))^2

Вы ввели

              2   
f(x) = x + sin (x)

$$f{\left (x \right )} = x + \sin^{2}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \sin^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + sin(x)^2.
$$\sin^{2}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi   1   pi 
(----, - - --)
  4    2   4  

 3*pi  1   3*pi 
(----, - + ----)
  4    2    4   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[3*pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -pi/4] U [pi/4, 3*pi/4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \sin^{2}{\left (x \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \sin^{2}{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + sin(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \sin^{2}{\left (x \right )}\right)\right) = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 1\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \sin^{2}{\left (x \right )}\right)\right) = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 1\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \sin^{2}{\left (x \right )} = - x + \sin^{2}{\left (x \right )}$$
- Нет
$$x + \sin^{2}{\left (x \right )} = - -1 x - \sin^{2}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной