График функции y = x+3*acot(x)

Вы ввели

f(x) = x + 3*acot(x)

$$f{\left (x \right )} = x + 3 \operatorname{acot}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + 3 \operatorname{acot}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + 3*acot(x).
$$3 \operatorname{acot}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{3 \pi}{2}$$
Точка:

(0, 3*pi/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$1 - \frac{3}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

    ___      ___         /  ___\ 
(-\/ 2, - \/ 2  - 3*acot\\/ 2 /)

   ___    ___         /  ___\ 
(\/ 2, \/ 2  + 3*acot\\/ 2 /)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(2)] U [sqrt(2), oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(2), sqrt(2)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{6 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + 3 \operatorname{acot}{\left (x \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 3 \operatorname{acot}{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + 3*acot(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 3 \operatorname{acot}{\left (x \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 3 \operatorname{acot}{\left (x \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + 3 \operatorname{acot}{\left (x \right )} = - x - 3 \operatorname{acot}{\left (x \right )}$$
- Нет
$$x + 3 \operatorname{acot}{\left (x \right )} = - -1 x - - 3 \operatorname{acot}{\left (x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной