График функции y = x*acos(x)

Вы ввели

f(x) = x*acos(x)

$$f{\left(x \right)} = x \operatorname{acos}{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \operatorname{acos}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*acos(x).
$$0 \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \operatorname{acos}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.652184623909187$$
Зн. экстремумы в точках:

(0.652184623909187, 0.561096338191045)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0.652184623909187$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0.652184623909187\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0.652184623909187, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 2}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{acos}{\left(x \right)}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{acos}{\left(x \right)}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*acos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(x \right)} = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(x \right)} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \operatorname{acos}{\left(x \right)} = - x \operatorname{acos}{\left(- x \right)}$$
- Нет
$$x \operatorname{acos}{\left(x \right)} = x \operatorname{acos}{\left(- x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График