Графики функций/ Построение в 2D/ y = x*atan(1/x)

График функции y = x*atan(1/x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
             /1\
f(x) = x*atan|-|
             \x/
f(x)=xatan⁡(1x)f{\left (x \right )} = x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}
График функции
0-80000000000000000000-4000000000000000000020000000000000000000600000000000000000001.001.01
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
xatan⁡(1x)=0x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*atan(1/x).
0atan⁡(10)0 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{0} \right )}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
atan⁡(1x)−1x(1+1x2)=0\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−8.72300168542⋅1016x_{1} = -8.72300168542 \cdot 10^{16}
x2=−2.67378361834⋅1016x_{2} = -2.67378361834 \cdot 10^{16}
x3=−1.7887459895⋅1015x_{3} = -1.7887459895 \cdot 10^{15}
x4=4.23614484605⋅1016x_{4} = 4.23614484605 \cdot 10^{16}
x5=−8.70398563342⋅1016x_{5} = -8.70398563342 \cdot 10^{16}
x6=−1.60758971551⋅1017x_{6} = -1.60758971551 \cdot 10^{17}
x7=4.19795871946⋅1017x_{7} = 4.19795871946 \cdot 10^{17}
x8=2.30421010633⋅1016x_{8} = 2.30421010633 \cdot 10^{16}
x9=1.53585487714⋅1018x_{9} = 1.53585487714 \cdot 10^{18}
x10=−2.1394809653⋅1016x_{10} = -2.1394809653 \cdot 10^{16}
x11=−4.3040871329⋅1017x_{11} = -4.3040871329 \cdot 10^{17}
x12=−2.5923235458⋅1016x_{12} = -2.5923235458 \cdot 10^{16}
x13=1.56856079987⋅1017x_{13} = 1.56856079987 \cdot 10^{17}
x14=−3.73596150932⋅1015x_{14} = -3.73596150932 \cdot 10^{15}
x15=−7.21908739314⋅1015x_{15} = -7.21908739314 \cdot 10^{15}
x16=5.84567046751⋅1016x_{16} = 5.84567046751 \cdot 10^{16}
x17=−423397528676000x_{17} = -423397528676000
x18=1.46796812322⋅1016x_{18} = 1.46796812322 \cdot 10^{16}
x19=−1.35628182053⋅1017x_{19} = -1.35628182053 \cdot 10^{17}
x20=−1.78793282934⋅1018x_{20} = -1.78793282934 \cdot 10^{18}
x21=8.69537237261⋅1015x_{21} = 8.69537237261 \cdot 10^{15}
x22=102485821069000x_{22} = 102485821069000
x23=2.78061887967⋅1018x_{23} = 2.78061887967 \cdot 10^{18}
x24=−335425331362000x_{24} = -335425331362000
x25=−3.49353953734⋅1016x_{25} = -3.49353953734 \cdot 10^{16}
x26=4.34285642483⋅1016x_{26} = 4.34285642483 \cdot 10^{16}
x27=3.47736119738⋅1016x_{27} = 3.47736119738 \cdot 10^{16}
x28=3.82757535995⋅1016x_{28} = 3.82757535995 \cdot 10^{16}
x29=−358417368461000x_{29} = -358417368461000
x30=6.6549389942⋅1016x_{30} = 6.6549389942 \cdot 10^{16}
x31=5.34316429122⋅1017x_{31} = 5.34316429122 \cdot 10^{17}
x32=2.74365483917⋅1018x_{32} = 2.74365483917 \cdot 10^{18}
x33=1.82983955464⋅1018x_{33} = 1.82983955464 \cdot 10^{18}
x34=4.91219714846⋅1016x_{34} = 4.91219714846 \cdot 10^{16}
x35=46570035815500x_{35} = 46570035815500
x36=−7.40056848305⋅1016x_{36} = -7.40056848305 \cdot 10^{16}
x37=2.03263988954⋅1018x_{37} = 2.03263988954 \cdot 10^{18}
x38=2.18056541001⋅1016x_{38} = 2.18056541001 \cdot 10^{16}
x39=−7.00387292833⋅1017x_{39} = -7.00387292833 \cdot 10^{17}
x40=−1.61439396361⋅1018x_{40} = -1.61439396361 \cdot 10^{18}
x41=1.65516300437⋅1017x_{41} = 1.65516300437 \cdot 10^{17}
x42=−1.26236512478⋅1016x_{42} = -1.26236512478 \cdot 10^{16}
x43=−5.13524136065⋅1016x_{43} = -5.13524136065 \cdot 10^{16}
x44=−1.34827972563⋅1016x_{44} = -1.34827972563 \cdot 10^{16}
x45=−1.63797465757⋅1015x_{45} = -1.63797465757 \cdot 10^{15}
x46=3.24500631371⋅1017x_{46} = 3.24500631371 \cdot 10^{17}
x47=−1.89484346516⋅1017x_{47} = -1.89484346516 \cdot 10^{17}
x48=−9.20682981624⋅1015x_{48} = -9.20682981624 \cdot 10^{15}
x49=8.54840214814⋅1016x_{49} = 8.54840214814 \cdot 10^{16}
x50=5.74963457651⋅1016x_{50} = 5.74963457651 \cdot 10^{16}
x51=−3.28587463398⋅1016x_{51} = -3.28587463398 \cdot 10^{16}
x52=−4.02094300814⋅1017x_{52} = -4.02094300814 \cdot 10^{17}
x53=1.26165228492⋅1015x_{53} = 1.26165228492 \cdot 10^{15}
x54=6.24300283085⋅1015x_{54} = 6.24300283085 \cdot 10^{15}
x55=−2.76987153256⋅1016x_{55} = -2.76987153256 \cdot 10^{16}
x56=−2.61729847263⋅1018x_{56} = -2.61729847263 \cdot 10^{18}
x57=−8.70155879039⋅1016x_{57} = -8.70155879039 \cdot 10^{16}
x58=84232275460100x_{58} = 84232275460100
x59=33676086386600x_{59} = 33676086386600
x60=2.14617142993⋅1018x_{60} = 2.14617142993 \cdot 10^{18}
x61=−1.08280680146⋅1016x_{61} = -1.08280680146 \cdot 10^{16}
x62=5.57903172889⋅1016x_{62} = 5.57903172889 \cdot 10^{16}
x63=3.77229738125⋅1016x_{63} = 3.77229738125 \cdot 10^{16}
x64=7.8738591949⋅1016x_{64} = 7.8738591949 \cdot 10^{16}
x65=−1.12690167578⋅1018x_{65} = -1.12690167578 \cdot 10^{18}
x66=1.11087104157⋅1017x_{66} = 1.11087104157 \cdot 10^{17}
x67=−2.41710496658⋅1015x_{67} = -2.41710496658 \cdot 10^{15}
x68=9.58213504904⋅1015x_{68} = 9.58213504904 \cdot 10^{15}
x69=7.41445011685⋅1016x_{69} = 7.41445011685 \cdot 10^{16}
x70=3.25602781322⋅1017x_{70} = 3.25602781322 \cdot 10^{17}
x71=−2.37118803266⋅1018x_{71} = -2.37118803266 \cdot 10^{18}
x72=−3.1149244983⋅1016x_{72} = -3.1149244983 \cdot 10^{16}
x73=−4.35385689203⋅1017x_{73} = -4.35385689203 \cdot 10^{17}
x74=−5.42610954122⋅1016x_{74} = -5.42610954122 \cdot 10^{16}
x75=−1.14166293752⋅1017x_{75} = -1.14166293752 \cdot 10^{17}
x76=6.65362198293⋅1016x_{76} = 6.65362198293 \cdot 10^{16}
x77=−1.49441631093⋅1016x_{77} = -1.49441631093 \cdot 10^{16}
x78=2.15292441568⋅1017x_{78} = 2.15292441568 \cdot 10^{17}
x79=−3.86156260064⋅1016x_{79} = -3.86156260064 \cdot 10^{16}
x80=−5.01998873507⋅1018x_{80} = -5.01998873507 \cdot 10^{18}
x81=−2.57732783203⋅1017x_{81} = -2.57732783203 \cdot 10^{17}
x82=−4.2488930975⋅1016x_{82} = -4.2488930975 \cdot 10^{16}
x83=115308477769000x_{83} = 115308477769000
x84=−1.38942340054⋅1018x_{84} = -1.38942340054 \cdot 10^{18}
x85=−2.75774707861⋅1016x_{85} = -2.75774707861 \cdot 10^{16}
x86=−1.6529584712⋅1016x_{86} = -1.6529584712 \cdot 10^{16}
x87=−9.77026931204⋅1015x_{87} = -9.77026931204 \cdot 10^{15}
x88=−7.52693417271⋅1016x_{88} = -7.52693417271 \cdot 10^{16}
x89=−5.24127360921⋅1018x_{89} = -5.24127360921 \cdot 10^{18}
x90=1.04661733948⋅1017x_{90} = 1.04661733948 \cdot 10^{17}
x91=2.71276563907⋅1016x_{91} = 2.71276563907 \cdot 10^{16}
x92=2.27475040734⋅1017x_{92} = 2.27475040734 \cdot 10^{17}
x93=−1.17022602547⋅1015x_{93} = -1.17022602547 \cdot 10^{15}
x94=−3.34952084371⋅1017x_{94} = -3.34952084371 \cdot 10^{17}
Зн. экстремумы в точках:
(-8.72300168542e+16, 1)

(-2.67378361834e+16, 1)

(-1.7887459895e+15, 1)

(4.23614484605e+16, 1)

(-8.70398563342e+16, 1)

(-1.60758971551e+17, 1)

(4.19795871946e+17, 1)

(2.30421010633e+16, 1)

(1.53585487714e+18, 1)

(-2.1394809653e+16, 1)

(-4.3040871329e+17, 1)

(-2.5923235458e+16, 1)

(1.56856079987e+17, 1)

(-3.73596150932e+15, 1)

(-7.21908739314e+15, 1)

(5.84567046751e+16, 1)

(-4.23397528676e+14, 1)

(1.46796812322e+16, 1)

(-1.35628182053e+17, 1)

(-1.78793282934e+18, 1)

(8.69537237261e+15, 1)

(1.02485821069e+14, 1)

(2.78061887967e+18, 1)

(-3.35425331362e+14, 1)

(-3.49353953734e+16, 1)

(4.34285642483e+16, 1)

(3.47736119738e+16, 1)

(3.82757535995e+16, 1)

(-3.58417368461e+14, 1)

(6.6549389942e+16, 1)

(5.34316429122e+17, 1)

(2.74365483917e+18, 1)

(1.82983955464e+18, 1)

(4.91219714846e+16, 1)

(4.65700358155e+13, 1)

(-7.40056848305e+16, 1)

(2.03263988954e+18, 1)

(2.18056541001e+16, 1)

(-7.00387292833e+17, 1)

(-1.61439396361e+18, 1)

(1.65516300437e+17, 1)

(-1.26236512478e+16, 1)

(-5.13524136065e+16, 1)

(-1.34827972563e+16, 1)

(-1.63797465757e+15, 1)

(3.24500631371e+17, 1)

(-1.89484346516e+17, 1)

(-9.20682981624e+15, 1)

(8.54840214814e+16, 1)

(5.74963457651e+16, 1)

(-3.28587463398e+16, 1)

(-4.02094300814e+17, 1)

(1.26165228492e+15, 1)

(6.24300283085e+15, 1)

(-2.76987153256e+16, 1)

(-2.61729847263e+18, 1)

(-8.70155879039e+16, 1)

(8.42322754601e+13, 1)

(3.36760863866e+13, 1)

(2.14617142993e+18, 1)

(-1.08280680146e+16, 1)

(5.57903172889e+16, 1)

(3.77229738125e+16, 1)

(7.8738591949e+16, 1)

(-1.12690167578e+18, 1)

(1.11087104157e+17, 1)

(-2.41710496658e+15, 1)

(9.58213504904e+15, 1)

(7.41445011685e+16, 1)

(3.25602781322e+17, 1)

(-2.37118803266e+18, 1)

(-3.1149244983e+16, 1)

(-4.35385689203e+17, 1)

(-5.42610954122e+16, 1)

(-1.14166293752e+17, 1)

(6.65362198293e+16, 1)

(-1.49441631093e+16, 1)

(2.15292441568e+17, 1)

(-3.86156260064e+16, 1)

(-5.01998873507e+18, 1)

(-2.57732783203e+17, 1)

(-4.2488930975e+16, 1)

(1.15308477769e+14, 1)

(-1.38942340054e+18, 1)

(-2.75774707861e+16, 1)

(-1.6529584712e+16, 1)

(-9.77026931204e+15, 1)

(-7.52693417271e+16, 1)

(-5.24127360921e+18, 1)

(1.04661733948e+17, 1)

(2.71276563907e+16, 1)

(2.27475040734e+17, 1)

(-1.17022602547e+15, 1)

(-3.34952084371e+17, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
−2x4(1+1x2)2=0- \frac{2}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(xatan⁡(1x))=1\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(xatan⁡(1x))=1\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*atan(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(1x)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞atan⁡(1x)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
xatan⁡(1x)=xatan⁡(1x)x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}
- Да
xatan⁡(1x)=−xatan⁡(1x)x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = - x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}
- Нет
значит, функция
является
чётной