График функции y = x*atan(1/x)

Вы ввели

             /1\
f(x) = x*atan|-|
             \x/

$$f{\left (x \right )} = x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*atan(1/x).
$$0 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{0} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -8.72300168542 \cdot 10^{16}$$
$$x_{2} = -2.67378361834 \cdot 10^{16}$$
$$x_{3} = -1.7887459895 \cdot 10^{15}$$
$$x_{4} = 4.23614484605 \cdot 10^{16}$$
$$x_{5} = -8.70398563342 \cdot 10^{16}$$
$$x_{6} = -1.60758971551 \cdot 10^{17}$$
$$x_{7} = 4.19795871946 \cdot 10^{17}$$
$$x_{8} = 2.30421010633 \cdot 10^{16}$$
$$x_{9} = 1.53585487714 \cdot 10^{18}$$
$$x_{10} = -2.1394809653 \cdot 10^{16}$$
$$x_{11} = -4.3040871329 \cdot 10^{17}$$
$$x_{12} = -2.5923235458 \cdot 10^{16}$$
$$x_{13} = 1.56856079987 \cdot 10^{17}$$
$$x_{14} = -3.73596150932 \cdot 10^{15}$$
$$x_{15} = -7.21908739314 \cdot 10^{15}$$
$$x_{16} = 5.84567046751 \cdot 10^{16}$$
$$x_{17} = -423397528676000$$
$$x_{18} = 1.46796812322 \cdot 10^{16}$$
$$x_{19} = -1.35628182053 \cdot 10^{17}$$
$$x_{20} = -1.78793282934 \cdot 10^{18}$$
$$x_{21} = 8.69537237261 \cdot 10^{15}$$
$$x_{22} = 102485821069000$$
$$x_{23} = 2.78061887967 \cdot 10^{18}$$
$$x_{24} = -335425331362000$$
$$x_{25} = -3.49353953734 \cdot 10^{16}$$
$$x_{26} = 4.34285642483 \cdot 10^{16}$$
$$x_{27} = 3.47736119738 \cdot 10^{16}$$
$$x_{28} = 3.82757535995 \cdot 10^{16}$$
$$x_{29} = -358417368461000$$
$$x_{30} = 6.6549389942 \cdot 10^{16}$$
$$x_{31} = 5.34316429122 \cdot 10^{17}$$
$$x_{32} = 2.74365483917 \cdot 10^{18}$$
$$x_{33} = 1.82983955464 \cdot 10^{18}$$
$$x_{34} = 4.91219714846 \cdot 10^{16}$$
$$x_{35} = 46570035815500$$
$$x_{36} = -7.40056848305 \cdot 10^{16}$$
$$x_{37} = 2.03263988954 \cdot 10^{18}$$
$$x_{38} = 2.18056541001 \cdot 10^{16}$$
$$x_{39} = -7.00387292833 \cdot 10^{17}$$
$$x_{40} = -1.61439396361 \cdot 10^{18}$$
$$x_{41} = 1.65516300437 \cdot 10^{17}$$
$$x_{42} = -1.26236512478 \cdot 10^{16}$$
$$x_{43} = -5.13524136065 \cdot 10^{16}$$
$$x_{44} = -1.34827972563 \cdot 10^{16}$$
$$x_{45} = -1.63797465757 \cdot 10^{15}$$
$$x_{46} = 3.24500631371 \cdot 10^{17}$$
$$x_{47} = -1.89484346516 \cdot 10^{17}$$
$$x_{48} = -9.20682981624 \cdot 10^{15}$$
$$x_{49} = 8.54840214814 \cdot 10^{16}$$
$$x_{50} = 5.74963457651 \cdot 10^{16}$$
$$x_{51} = -3.28587463398 \cdot 10^{16}$$
$$x_{52} = -4.02094300814 \cdot 10^{17}$$
$$x_{53} = 1.26165228492 \cdot 10^{15}$$
$$x_{54} = 6.24300283085 \cdot 10^{15}$$
$$x_{55} = -2.76987153256 \cdot 10^{16}$$
$$x_{56} = -2.61729847263 \cdot 10^{18}$$
$$x_{57} = -8.70155879039 \cdot 10^{16}$$
$$x_{58} = 84232275460100$$
$$x_{59} = 33676086386600$$
$$x_{60} = 2.14617142993 \cdot 10^{18}$$
$$x_{61} = -1.08280680146 \cdot 10^{16}$$
$$x_{62} = 5.57903172889 \cdot 10^{16}$$
$$x_{63} = 3.77229738125 \cdot 10^{16}$$
$$x_{64} = 7.8738591949 \cdot 10^{16}$$
$$x_{65} = -1.12690167578 \cdot 10^{18}$$
$$x_{66} = 1.11087104157 \cdot 10^{17}$$
$$x_{67} = -2.41710496658 \cdot 10^{15}$$
$$x_{68} = 9.58213504904 \cdot 10^{15}$$
$$x_{69} = 7.41445011685 \cdot 10^{16}$$
$$x_{70} = 3.25602781322 \cdot 10^{17}$$
$$x_{71} = -2.37118803266 \cdot 10^{18}$$
$$x_{72} = -3.1149244983 \cdot 10^{16}$$
$$x_{73} = -4.35385689203 \cdot 10^{17}$$
$$x_{74} = -5.42610954122 \cdot 10^{16}$$
$$x_{75} = -1.14166293752 \cdot 10^{17}$$
$$x_{76} = 6.65362198293 \cdot 10^{16}$$
$$x_{77} = -1.49441631093 \cdot 10^{16}$$
$$x_{78} = 2.15292441568 \cdot 10^{17}$$
$$x_{79} = -3.86156260064 \cdot 10^{16}$$
$$x_{80} = -5.01998873507 \cdot 10^{18}$$
$$x_{81} = -2.57732783203 \cdot 10^{17}$$
$$x_{82} = -4.2488930975 \cdot 10^{16}$$
$$x_{83} = 115308477769000$$
$$x_{84} = -1.38942340054 \cdot 10^{18}$$
$$x_{85} = -2.75774707861 \cdot 10^{16}$$
$$x_{86} = -1.6529584712 \cdot 10^{16}$$
$$x_{87} = -9.77026931204 \cdot 10^{15}$$
$$x_{88} = -7.52693417271 \cdot 10^{16}$$
$$x_{89} = -5.24127360921 \cdot 10^{18}$$
$$x_{90} = 1.04661733948 \cdot 10^{17}$$
$$x_{91} = 2.71276563907 \cdot 10^{16}$$
$$x_{92} = 2.27475040734 \cdot 10^{17}$$
$$x_{93} = -1.17022602547 \cdot 10^{15}$$
$$x_{94} = -3.34952084371 \cdot 10^{17}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-8.72300168542e+16, 1)

(-2.67378361834e+16, 1)

(-1.7887459895e+15, 1)

(4.23614484605e+16, 1)

(-8.70398563342e+16, 1)

(-1.60758971551e+17, 1)

(4.19795871946e+17, 1)

(2.30421010633e+16, 1)

(1.53585487714e+18, 1)

(-2.1394809653e+16, 1)

(-4.3040871329e+17, 1)

(-2.5923235458e+16, 1)

(1.56856079987e+17, 1)

(-3.73596150932e+15, 1)

(-7.21908739314e+15, 1)

(5.84567046751e+16, 1)

(-4.23397528676e+14, 1)

(1.46796812322e+16, 1)

(-1.35628182053e+17, 1)

(-1.78793282934e+18, 1)

(8.69537237261e+15, 1)

(1.02485821069e+14, 1)

(2.78061887967e+18, 1)

(-3.35425331362e+14, 1)

(-3.49353953734e+16, 1)

(4.34285642483e+16, 1)

(3.47736119738e+16, 1)

(3.82757535995e+16, 1)

(-3.58417368461e+14, 1)

(6.6549389942e+16, 1)

(5.34316429122e+17, 1)

(2.74365483917e+18, 1)

(1.82983955464e+18, 1)

(4.91219714846e+16, 1)

(4.65700358155e+13, 1)

(-7.40056848305e+16, 1)

(2.03263988954e+18, 1)

(2.18056541001e+16, 1)

(-7.00387292833e+17, 1)

(-1.61439396361e+18, 1)

(1.65516300437e+17, 1)

(-1.26236512478e+16, 1)

(-5.13524136065e+16, 1)

(-1.34827972563e+16, 1)

(-1.63797465757e+15, 1)

(3.24500631371e+17, 1)

(-1.89484346516e+17, 1)

(-9.20682981624e+15, 1)

(8.54840214814e+16, 1)

(5.74963457651e+16, 1)

(-3.28587463398e+16, 1)

(-4.02094300814e+17, 1)

(1.26165228492e+15, 1)

(6.24300283085e+15, 1)

(-2.76987153256e+16, 1)

(-2.61729847263e+18, 1)

(-8.70155879039e+16, 1)

(8.42322754601e+13, 1)

(3.36760863866e+13, 1)

(2.14617142993e+18, 1)

(-1.08280680146e+16, 1)

(5.57903172889e+16, 1)

(3.77229738125e+16, 1)

(7.8738591949e+16, 1)

(-1.12690167578e+18, 1)

(1.11087104157e+17, 1)

(-2.41710496658e+15, 1)

(9.58213504904e+15, 1)

(7.41445011685e+16, 1)

(3.25602781322e+17, 1)

(-2.37118803266e+18, 1)

(-3.1149244983e+16, 1)

(-4.35385689203e+17, 1)

(-5.42610954122e+16, 1)

(-1.14166293752e+17, 1)

(6.65362198293e+16, 1)

(-1.49441631093e+16, 1)

(2.15292441568e+17, 1)

(-3.86156260064e+16, 1)

(-5.01998873507e+18, 1)

(-2.57732783203e+17, 1)

(-4.2488930975e+16, 1)

(1.15308477769e+14, 1)

(-1.38942340054e+18, 1)

(-2.75774707861e+16, 1)

(-1.6529584712e+16, 1)

(-9.77026931204e+15, 1)

(-7.52693417271e+16, 1)

(-5.24127360921e+18, 1)

(1.04661733948e+17, 1)

(2.71276563907e+16, 1)

(2.27475040734e+17, 1)

(-1.17022602547e+15, 1)

(-3.34952084371e+17, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{2}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*atan(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}$$
- Да
$$x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = - x \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной