График функции y = x*atan(3*x)

Вы ввели

f(x) = x*atan(3*x)

$$f{\left (x \right )} = x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.72289290486 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{2} = -1.70526259728 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{3} = 1.71787566452 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{4} = 1.72444530165 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{5} = 1.72414245128 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{6} = 1.72310037606 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{7} = 1.72467529437 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{8} = -1.72462230735 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{9} = -1.72443949285 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{10} = 1.7234203808 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{11} = -1.72389355959 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{12} = -1.7237297463 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{13} = 1.7243942715 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{14} = -1.72432803107 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{15} = -1.72435891206 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{16} = 1.72451056872 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{17} = 1.72461167589 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{18} = -1.72446296523 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{19} = 1.70768403506 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{20} = 1.72375112749 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{21} = 1.72433566588 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{22} = 1.72471682143 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{23} = -1.72181773921 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{24} = -1.72468370006 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{25} = 1.72456523059 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{26} = -1.72470465059 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{27} = -1.72425877762 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{28} = 1.68054014729 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{29} = 1.7246969435 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{30} = -1.72466083011 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{31} = -1.72467252111 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{32} = -1.72471448 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{33} = 1.7195846368 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{34} = 1.72391053305 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{35} = 1.72065788195 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{36} = 1.72397766559 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{37} = -1.72421977538 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{38} = -1.72454370549 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{39} = -1.72323614804 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{40} = 1.72442063877 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{41} = 1.72452983289 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{42} = -1.72046151416 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{43} = -1.72224356606 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{44} = 1.72232521242 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{45} = -1.72283963059 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{46} = -1.72429474976 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{47} = 1.72436601712 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{48} = 1.72422941001 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{49} = 1.72426766629 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{50} = -1.72305604753 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{51} = -1.7241773444 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{52} = -1.72438764295 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{53} = 0$$
$$x_{54} = -1.72452526574 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{55} = 1.72409275532 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{56} = 1.7246863548 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{57} = 1.72465162648 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{58} = -1.72456114006 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{59} = -1.72460817171 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{60} = 1.72403808773 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{61} = -1.72338831811 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{62} = -1.72396240207 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{63} = -1.72464859108 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{64} = 1.72449013437 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{65} = 1.72264003159 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{66} = 1.72139128794 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{67} = 1.72470709 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{68} = -1.72363126533 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{69} = 1.72462564388 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{70} = 1.72446842001 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{71} = 1.72463894522 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{72} = 1.72454802449 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{73} = -1.72381652366 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{74} = 1.71477347589 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{75} = -1.71383980314 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{76} = 1.72365552258 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{77} = -1.72459330509 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{78} = 1.72327360379 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{79} = 1.72192286191 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{80} = -1.72402428846 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{81} = -1.72457764936 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{82} = 1.72383551089 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{83} = 1.72430297581 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{84} = 1.72418782291 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{85} = -1.7241310131 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{86} = -1.72450573142 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{87} = 1.72458152908 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{88} = 1.72466373001 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{89} = -1.72441444037 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{90} = -1.72448500222 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{91} = -1.72408021947 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{92} = 1.72354631035 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{93} = -1.72125099102 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{94} = 1.72459698988 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{95} = -1.71929103391 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{96} = -1.66731669666 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{97} = -1.72469439984 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{98} = -1.72463576459 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{99} = -1.72351855654 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{100} = -1.72257481655 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{101} = -1.71739175759 \cdot 10^{-7}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*atan(3*x).
$$0 \operatorname{atan}{\left (0 \cdot 3 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{3 x}{9 x^{2} + 1} + \operatorname{atan}{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{- \frac{54 x^{2}}{9 x^{2} + 1} + 6}{9 x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*atan(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )} = - \frac{\pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \frac{\pi x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )} = \frac{\pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{\pi x}{2}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )} = x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}$$
- Да
$$x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )} = - x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной