Графики функций/ Построение в 2D/ y = x*atan(3*x)

График функции y = x*atan(3*x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = x*atan(3*x)
f(x)=xatan⁡(3x)f{\left (x \right )} = x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}
График функции
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.21.00.00.20.40.60.802
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
xatan⁡(3x)=0x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=1.72289290486⋅10−7x_{1} = 1.72289290486 \cdot 10^{-7}
x2=−1.70526259728⋅10−7x_{2} = -1.70526259728 \cdot 10^{-7}
x3=1.71787566452⋅10−7x_{3} = 1.71787566452 \cdot 10^{-7}
x4=1.72444530165⋅10−7x_{4} = 1.72444530165 \cdot 10^{-7}
x5=1.72414245128⋅10−7x_{5} = 1.72414245128 \cdot 10^{-7}
x6=1.72310037606⋅10−7x_{6} = 1.72310037606 \cdot 10^{-7}
x7=1.72467529437⋅10−7x_{7} = 1.72467529437 \cdot 10^{-7}
x8=−1.72462230735⋅10−7x_{8} = -1.72462230735 \cdot 10^{-7}
x9=−1.72443949285⋅10−7x_{9} = -1.72443949285 \cdot 10^{-7}
x10=1.7234203808⋅10−7x_{10} = 1.7234203808 \cdot 10^{-7}
x11=−1.72389355959⋅10−7x_{11} = -1.72389355959 \cdot 10^{-7}
x12=−1.7237297463⋅10−7x_{12} = -1.7237297463 \cdot 10^{-7}
x13=1.7243942715⋅10−7x_{13} = 1.7243942715 \cdot 10^{-7}
x14=−1.72432803107⋅10−7x_{14} = -1.72432803107 \cdot 10^{-7}
x15=−1.72435891206⋅10−7x_{15} = -1.72435891206 \cdot 10^{-7}
x16=1.72451056872⋅10−7x_{16} = 1.72451056872 \cdot 10^{-7}
x17=1.72461167589⋅10−7x_{17} = 1.72461167589 \cdot 10^{-7}
x18=−1.72446296523⋅10−7x_{18} = -1.72446296523 \cdot 10^{-7}
x19=1.70768403506⋅10−7x_{19} = 1.70768403506 \cdot 10^{-7}
x20=1.72375112749⋅10−7x_{20} = 1.72375112749 \cdot 10^{-7}
x21=1.72433566588⋅10−7x_{21} = 1.72433566588 \cdot 10^{-7}
x22=1.72471682143⋅10−7x_{22} = 1.72471682143 \cdot 10^{-7}
x23=−1.72181773921⋅10−7x_{23} = -1.72181773921 \cdot 10^{-7}
x24=−1.72468370006⋅10−7x_{24} = -1.72468370006 \cdot 10^{-7}
x25=1.72456523059⋅10−7x_{25} = 1.72456523059 \cdot 10^{-7}
x26=−1.72470465059⋅10−7x_{26} = -1.72470465059 \cdot 10^{-7}
x27=−1.72425877762⋅10−7x_{27} = -1.72425877762 \cdot 10^{-7}
x28=1.68054014729⋅10−7x_{28} = 1.68054014729 \cdot 10^{-7}
x29=1.7246969435⋅10−7x_{29} = 1.7246969435 \cdot 10^{-7}
x30=−1.72466083011⋅10−7x_{30} = -1.72466083011 \cdot 10^{-7}
x31=−1.72467252111⋅10−7x_{31} = -1.72467252111 \cdot 10^{-7}
x32=−1.72471448⋅10−7x_{32} = -1.72471448 \cdot 10^{-7}
x33=1.7195846368⋅10−7x_{33} = 1.7195846368 \cdot 10^{-7}
x34=1.72391053305⋅10−7x_{34} = 1.72391053305 \cdot 10^{-7}
x35=1.72065788195⋅10−7x_{35} = 1.72065788195 \cdot 10^{-7}
x36=1.72397766559⋅10−7x_{36} = 1.72397766559 \cdot 10^{-7}
x37=−1.72421977538⋅10−7x_{37} = -1.72421977538 \cdot 10^{-7}
x38=−1.72454370549⋅10−7x_{38} = -1.72454370549 \cdot 10^{-7}
x39=−1.72323614804⋅10−7x_{39} = -1.72323614804 \cdot 10^{-7}
x40=1.72442063877⋅10−7x_{40} = 1.72442063877 \cdot 10^{-7}
x41=1.72452983289⋅10−7x_{41} = 1.72452983289 \cdot 10^{-7}
x42=−1.72046151416⋅10−7x_{42} = -1.72046151416 \cdot 10^{-7}
x43=−1.72224356606⋅10−7x_{43} = -1.72224356606 \cdot 10^{-7}
x44=1.72232521242⋅10−7x_{44} = 1.72232521242 \cdot 10^{-7}
x45=−1.72283963059⋅10−7x_{45} = -1.72283963059 \cdot 10^{-7}
x46=−1.72429474976⋅10−7x_{46} = -1.72429474976 \cdot 10^{-7}
x47=1.72436601712⋅10−7x_{47} = 1.72436601712 \cdot 10^{-7}
x48=1.72422941001⋅10−7x_{48} = 1.72422941001 \cdot 10^{-7}
x49=1.72426766629⋅10−7x_{49} = 1.72426766629 \cdot 10^{-7}
x50=−1.72305604753⋅10−7x_{50} = -1.72305604753 \cdot 10^{-7}
x51=−1.7241773444⋅10−7x_{51} = -1.7241773444 \cdot 10^{-7}
x52=−1.72438764295⋅10−7x_{52} = -1.72438764295 \cdot 10^{-7}
x53=0x_{53} = 0
x54=−1.72452526574⋅10−7x_{54} = -1.72452526574 \cdot 10^{-7}
x55=1.72409275532⋅10−7x_{55} = 1.72409275532 \cdot 10^{-7}
x56=1.7246863548⋅10−7x_{56} = 1.7246863548 \cdot 10^{-7}
x57=1.72465162648⋅10−7x_{57} = 1.72465162648 \cdot 10^{-7}
x58=−1.72456114006⋅10−7x_{58} = -1.72456114006 \cdot 10^{-7}
x59=−1.72460817171⋅10−7x_{59} = -1.72460817171 \cdot 10^{-7}
x60=1.72403808773⋅10−7x_{60} = 1.72403808773 \cdot 10^{-7}
x61=−1.72338831811⋅10−7x_{61} = -1.72338831811 \cdot 10^{-7}
x62=−1.72396240207⋅10−7x_{62} = -1.72396240207 \cdot 10^{-7}
x63=−1.72464859108⋅10−7x_{63} = -1.72464859108 \cdot 10^{-7}
x64=1.72449013437⋅10−7x_{64} = 1.72449013437 \cdot 10^{-7}
x65=1.72264003159⋅10−7x_{65} = 1.72264003159 \cdot 10^{-7}
x66=1.72139128794⋅10−7x_{66} = 1.72139128794 \cdot 10^{-7}
x67=1.72470709⋅10−7x_{67} = 1.72470709 \cdot 10^{-7}
x68=−1.72363126533⋅10−7x_{68} = -1.72363126533 \cdot 10^{-7}
x69=1.72462564388⋅10−7x_{69} = 1.72462564388 \cdot 10^{-7}
x70=1.72446842001⋅10−7x_{70} = 1.72446842001 \cdot 10^{-7}
x71=1.72463894522⋅10−7x_{71} = 1.72463894522 \cdot 10^{-7}
x72=1.72454802449⋅10−7x_{72} = 1.72454802449 \cdot 10^{-7}
x73=−1.72381652366⋅10−7x_{73} = -1.72381652366 \cdot 10^{-7}
x74=1.71477347589⋅10−7x_{74} = 1.71477347589 \cdot 10^{-7}
x75=−1.71383980314⋅10−7x_{75} = -1.71383980314 \cdot 10^{-7}
x76=1.72365552258⋅10−7x_{76} = 1.72365552258 \cdot 10^{-7}
x77=−1.72459330509⋅10−7x_{77} = -1.72459330509 \cdot 10^{-7}
x78=1.72327360379⋅10−7x_{78} = 1.72327360379 \cdot 10^{-7}
x79=1.72192286191⋅10−7x_{79} = 1.72192286191 \cdot 10^{-7}
x80=−1.72402428846⋅10−7x_{80} = -1.72402428846 \cdot 10^{-7}
x81=−1.72457764936⋅10−7x_{81} = -1.72457764936 \cdot 10^{-7}
x82=1.72383551089⋅10−7x_{82} = 1.72383551089 \cdot 10^{-7}
x83=1.72430297581⋅10−7x_{83} = 1.72430297581 \cdot 10^{-7}
x84=1.72418782291⋅10−7x_{84} = 1.72418782291 \cdot 10^{-7}
x85=−1.7241310131⋅10−7x_{85} = -1.7241310131 \cdot 10^{-7}
x86=−1.72450573142⋅10−7x_{86} = -1.72450573142 \cdot 10^{-7}
x87=1.72458152908⋅10−7x_{87} = 1.72458152908 \cdot 10^{-7}
x88=1.72466373001⋅10−7x_{88} = 1.72466373001 \cdot 10^{-7}
x89=−1.72441444037⋅10−7x_{89} = -1.72441444037 \cdot 10^{-7}
x90=−1.72448500222⋅10−7x_{90} = -1.72448500222 \cdot 10^{-7}
x91=−1.72408021947⋅10−7x_{91} = -1.72408021947 \cdot 10^{-7}
x92=1.72354631035⋅10−7x_{92} = 1.72354631035 \cdot 10^{-7}
x93=−1.72125099102⋅10−7x_{93} = -1.72125099102 \cdot 10^{-7}
x94=1.72459698988⋅10−7x_{94} = 1.72459698988 \cdot 10^{-7}
x95=−1.71929103391⋅10−7x_{95} = -1.71929103391 \cdot 10^{-7}
x96=−1.66731669666⋅10−7x_{96} = -1.66731669666 \cdot 10^{-7}
x97=−1.72469439984⋅10−7x_{97} = -1.72469439984 \cdot 10^{-7}
x98=−1.72463576459⋅10−7x_{98} = -1.72463576459 \cdot 10^{-7}
x99=−1.72351855654⋅10−7x_{99} = -1.72351855654 \cdot 10^{-7}
x100=−1.72257481655⋅10−7x_{100} = -1.72257481655 \cdot 10^{-7}
x101=−1.71739175759⋅10−7x_{101} = -1.71739175759 \cdot 10^{-7}
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*atan(3*x).
0atan⁡(0⋅3)0 \operatorname{atan}{\left (0 \cdot 3 \right )}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
3x9x2+1+atan⁡(3x)=0\frac{3 x}{9 x^{2} + 1} + \operatorname{atan}{\left (3 x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
−54x29x2+1+69x2+1=0\frac{- \frac{54 x^{2}}{9 x^{2} + 1} + 6}{9 x^{2} + 1} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(xatan⁡(3x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
lim⁡x→∞(xatan⁡(3x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*atan(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(3x)=−π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )} = - \frac{\pi}{2}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=−πx2y = - \frac{\pi x}{2}
lim⁡x→∞atan⁡(3x)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )} = \frac{\pi}{2}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=πx2y = \frac{\pi x}{2}
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
xatan⁡(3x)=xatan⁡(3x)x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )} = x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}
- Да
xatan⁡(3x)=−xatan⁡(3x)x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )} = - x \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}
- Нет
значит, функция
является
чётной