График функции y = x*atan(x)

Вы ввели

f(x) = x*atan(x)

$$f{\left (x \right )} = x \operatorname{atan}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \operatorname{atan}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 5.16813093799 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{2} = 5.17072698985 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{3} = -5.17019741329 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{4} = 5.15699587891 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{5} = 5.16724098147 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{6} = -5.15003274155 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{7} = 5.16652062556 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{8} = 5.1474619973 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{9} = 5.16944319354 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{10} = -5.15947984497 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{11} = 5.16925743772 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{12} = -5.16158679838 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{13} = 5.17061149485 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{14} = 5.17008873848 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{15} = -5.16450869365 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{16} = -5.16749009437 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{17} = 5.12085664368 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{18} = 5.17036317847 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{19} = -5.1638968442 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{20} = 5.13103589917 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{21} = -5.16556066737 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{22} = -5.12936213006 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{23} = -5.15268153985 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{24} = 5.16517572309 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{25} = 5.1552531361 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{26} = -5.16060523598 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{27} = 5.16178307961 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{28} = 5.16611223038 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{29} = 5.16262442027 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{30} = 5.16838707766 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{31} = -5.17070048267 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{32} = -4.30364656326 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{33} = -5.11844604597 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{34} = 5.17094257031 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{35} = -5.16245003273 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{36} = 5.16994040733 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{37} = 5.16785601281 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{38} = -5.1664321265 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{39} = -5.15484938036 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{40} = 5.16403709633 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{41} = 5.17083723206 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{42} = 5.15973418854 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{43} = -5.16779080768 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{44} = -5.16921311381 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{45} = 5.15847080388 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{46} = 5.17022947356 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{47} = 0$$
$$x_{48} = 5.16862627912 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{49} = 5.1696183741 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{50} = -5.16506053036 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{51} = 5.17049036454 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{52} = -5.1700550177 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{53} = 5.17113978284 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{54} = 5.14344379598 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{55} = 5.16463549874 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{56} = -5.07332233253 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{57} = -5.16880014858 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{58} = 4.47856635141 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{59} = -5.17091831446 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{60} = -5.10167190419 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{61} = 5.16337075167 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{62} = -5.16974639968 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{63} = 5.15316494599 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{64} = -5.14251189813 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{65} = -5.16681394199 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{66} = -5.16321481286 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{67} = -5.16901308889 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{68} = -5.14673047872 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{69} = -5.16857301149 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{70} = -5.16990489394 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{71} = 5.16885015661 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{72} = 5.16978385212 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{73} = 5.16689557291 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{74} = -5.17058374286 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{75} = -5.15665378951 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{76} = -5.16957881981 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{77} = -5.17111750366 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{78} = 5.10540229109 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{79} = -5.17033265928 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{80} = -5.15817739083 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{81} = -5.16833022228 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{82} = -5.16601596364 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{83} = -5.16807012128 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{84} = -5.17102008723 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{85} = -4.87919180695 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{86} = 5.15062139131 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{87} = 5.16756017842 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{88} = 5.0797307782 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{89} = -5.16940135591 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{90} = 5.16566576467 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{91} = 4.91430447166 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{92} = -5.17046127814 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{93} = -5.01791504831 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{94} = -5.16716545238 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{95} = 5.16906012674 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{96} = -5.13695794328 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{97} = -5.17081188793 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{98} = 5.17104332331 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{99} = 5.13818240034 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{100} = 5.03088932062 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{101} = 5.16082776189 \cdot 10^{-7}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*atan(x).
$$0 \operatorname{atan}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x}{x^{2} + 1} + \operatorname{atan}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} + 1} \left(- \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*atan(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left (x \right )} = - \frac{\pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \frac{\pi x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left (x \right )} = \frac{\pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{\pi x}{2}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \operatorname{atan}{\left (x \right )} = x \operatorname{atan}{\left (x \right )}$$
- Да
$$x \operatorname{atan}{\left (x \right )} = - x \operatorname{atan}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной