Графики функций/ Построение в 2D/ y = x*atan(x)

График функции y = x*atan(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = x*atan(x)
f(x)=xatan⁡(x)f{\left (x \right )} = x \operatorname{atan}{\left (x \right )}
График функции
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.21.00.00.20.40.60.80.01.0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
xatan⁡(x)=0x \operatorname{atan}{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=5.16813093799⋅10−7x_{1} = 5.16813093799 \cdot 10^{-7}
x2=5.17072698985⋅10−7x_{2} = 5.17072698985 \cdot 10^{-7}
x3=−5.17019741329⋅10−7x_{3} = -5.17019741329 \cdot 10^{-7}
x4=5.15699587891⋅10−7x_{4} = 5.15699587891 \cdot 10^{-7}
x5=5.16724098147⋅10−7x_{5} = 5.16724098147 \cdot 10^{-7}
x6=−5.15003274155⋅10−7x_{6} = -5.15003274155 \cdot 10^{-7}
x7=5.16652062556⋅10−7x_{7} = 5.16652062556 \cdot 10^{-7}
x8=5.1474619973⋅10−7x_{8} = 5.1474619973 \cdot 10^{-7}
x9=5.16944319354⋅10−7x_{9} = 5.16944319354 \cdot 10^{-7}
x10=−5.15947984497⋅10−7x_{10} = -5.15947984497 \cdot 10^{-7}
x11=5.16925743772⋅10−7x_{11} = 5.16925743772 \cdot 10^{-7}
x12=−5.16158679838⋅10−7x_{12} = -5.16158679838 \cdot 10^{-7}
x13=5.17061149485⋅10−7x_{13} = 5.17061149485 \cdot 10^{-7}
x14=5.17008873848⋅10−7x_{14} = 5.17008873848 \cdot 10^{-7}
x15=−5.16450869365⋅10−7x_{15} = -5.16450869365 \cdot 10^{-7}
x16=−5.16749009437⋅10−7x_{16} = -5.16749009437 \cdot 10^{-7}
x17=5.12085664368⋅10−7x_{17} = 5.12085664368 \cdot 10^{-7}
x18=5.17036317847⋅10−7x_{18} = 5.17036317847 \cdot 10^{-7}
x19=−5.1638968442⋅10−7x_{19} = -5.1638968442 \cdot 10^{-7}
x20=5.13103589917⋅10−7x_{20} = 5.13103589917 \cdot 10^{-7}
x21=−5.16556066737⋅10−7x_{21} = -5.16556066737 \cdot 10^{-7}
x22=−5.12936213006⋅10−7x_{22} = -5.12936213006 \cdot 10^{-7}
x23=−5.15268153985⋅10−7x_{23} = -5.15268153985 \cdot 10^{-7}
x24=5.16517572309⋅10−7x_{24} = 5.16517572309 \cdot 10^{-7}
x25=5.1552531361⋅10−7x_{25} = 5.1552531361 \cdot 10^{-7}
x26=−5.16060523598⋅10−7x_{26} = -5.16060523598 \cdot 10^{-7}
x27=5.16178307961⋅10−7x_{27} = 5.16178307961 \cdot 10^{-7}
x28=5.16611223038⋅10−7x_{28} = 5.16611223038 \cdot 10^{-7}
x29=5.16262442027⋅10−7x_{29} = 5.16262442027 \cdot 10^{-7}
x30=5.16838707766⋅10−7x_{30} = 5.16838707766 \cdot 10^{-7}
x31=−5.17070048267⋅10−7x_{31} = -5.17070048267 \cdot 10^{-7}
x32=−4.30364656326⋅10−7x_{32} = -4.30364656326 \cdot 10^{-7}
x33=−5.11844604597⋅10−7x_{33} = -5.11844604597 \cdot 10^{-7}
x34=5.17094257031⋅10−7x_{34} = 5.17094257031 \cdot 10^{-7}
x35=−5.16245003273⋅10−7x_{35} = -5.16245003273 \cdot 10^{-7}
x36=5.16994040733⋅10−7x_{36} = 5.16994040733 \cdot 10^{-7}
x37=5.16785601281⋅10−7x_{37} = 5.16785601281 \cdot 10^{-7}
x38=−5.1664321265⋅10−7x_{38} = -5.1664321265 \cdot 10^{-7}
x39=−5.15484938036⋅10−7x_{39} = -5.15484938036 \cdot 10^{-7}
x40=5.16403709633⋅10−7x_{40} = 5.16403709633 \cdot 10^{-7}
x41=5.17083723206⋅10−7x_{41} = 5.17083723206 \cdot 10^{-7}
x42=5.15973418854⋅10−7x_{42} = 5.15973418854 \cdot 10^{-7}
x43=−5.16779080768⋅10−7x_{43} = -5.16779080768 \cdot 10^{-7}
x44=−5.16921311381⋅10−7x_{44} = -5.16921311381 \cdot 10^{-7}
x45=5.15847080388⋅10−7x_{45} = 5.15847080388 \cdot 10^{-7}
x46=5.17022947356⋅10−7x_{46} = 5.17022947356 \cdot 10^{-7}
x47=0x_{47} = 0
x48=5.16862627912⋅10−7x_{48} = 5.16862627912 \cdot 10^{-7}
x49=5.1696183741⋅10−7x_{49} = 5.1696183741 \cdot 10^{-7}
x50=−5.16506053036⋅10−7x_{50} = -5.16506053036 \cdot 10^{-7}
x51=5.17049036454⋅10−7x_{51} = 5.17049036454 \cdot 10^{-7}
x52=−5.1700550177⋅10−7x_{52} = -5.1700550177 \cdot 10^{-7}
x53=5.17113978284⋅10−7x_{53} = 5.17113978284 \cdot 10^{-7}
x54=5.14344379598⋅10−7x_{54} = 5.14344379598 \cdot 10^{-7}
x55=5.16463549874⋅10−7x_{55} = 5.16463549874 \cdot 10^{-7}
x56=−5.07332233253⋅10−7x_{56} = -5.07332233253 \cdot 10^{-7}
x57=−5.16880014858⋅10−7x_{57} = -5.16880014858 \cdot 10^{-7}
x58=4.47856635141⋅10−7x_{58} = 4.47856635141 \cdot 10^{-7}
x59=−5.17091831446⋅10−7x_{59} = -5.17091831446 \cdot 10^{-7}
x60=−5.10167190419⋅10−7x_{60} = -5.10167190419 \cdot 10^{-7}
x61=5.16337075167⋅10−7x_{61} = 5.16337075167 \cdot 10^{-7}
x62=−5.16974639968⋅10−7x_{62} = -5.16974639968 \cdot 10^{-7}
x63=5.15316494599⋅10−7x_{63} = 5.15316494599 \cdot 10^{-7}
x64=−5.14251189813⋅10−7x_{64} = -5.14251189813 \cdot 10^{-7}
x65=−5.16681394199⋅10−7x_{65} = -5.16681394199 \cdot 10^{-7}
x66=−5.16321481286⋅10−7x_{66} = -5.16321481286 \cdot 10^{-7}
x67=−5.16901308889⋅10−7x_{67} = -5.16901308889 \cdot 10^{-7}
x68=−5.14673047872⋅10−7x_{68} = -5.14673047872 \cdot 10^{-7}
x69=−5.16857301149⋅10−7x_{69} = -5.16857301149 \cdot 10^{-7}
x70=−5.16990489394⋅10−7x_{70} = -5.16990489394 \cdot 10^{-7}
x71=5.16885015661⋅10−7x_{71} = 5.16885015661 \cdot 10^{-7}
x72=5.16978385212⋅10−7x_{72} = 5.16978385212 \cdot 10^{-7}
x73=5.16689557291⋅10−7x_{73} = 5.16689557291 \cdot 10^{-7}
x74=−5.17058374286⋅10−7x_{74} = -5.17058374286 \cdot 10^{-7}
x75=−5.15665378951⋅10−7x_{75} = -5.15665378951 \cdot 10^{-7}
x76=−5.16957881981⋅10−7x_{76} = -5.16957881981 \cdot 10^{-7}
x77=−5.17111750366⋅10−7x_{77} = -5.17111750366 \cdot 10^{-7}
x78=5.10540229109⋅10−7x_{78} = 5.10540229109 \cdot 10^{-7}
x79=−5.17033265928⋅10−7x_{79} = -5.17033265928 \cdot 10^{-7}
x80=−5.15817739083⋅10−7x_{80} = -5.15817739083 \cdot 10^{-7}
x81=−5.16833022228⋅10−7x_{81} = -5.16833022228 \cdot 10^{-7}
x82=−5.16601596364⋅10−7x_{82} = -5.16601596364 \cdot 10^{-7}
x83=−5.16807012128⋅10−7x_{83} = -5.16807012128 \cdot 10^{-7}
x84=−5.17102008723⋅10−7x_{84} = -5.17102008723 \cdot 10^{-7}
x85=−4.87919180695⋅10−7x_{85} = -4.87919180695 \cdot 10^{-7}
x86=5.15062139131⋅10−7x_{86} = 5.15062139131 \cdot 10^{-7}
x87=5.16756017842⋅10−7x_{87} = 5.16756017842 \cdot 10^{-7}
x88=5.0797307782⋅10−7x_{88} = 5.0797307782 \cdot 10^{-7}
x89=−5.16940135591⋅10−7x_{89} = -5.16940135591 \cdot 10^{-7}
x90=5.16566576467⋅10−7x_{90} = 5.16566576467 \cdot 10^{-7}
x91=4.91430447166⋅10−7x_{91} = 4.91430447166 \cdot 10^{-7}
x92=−5.17046127814⋅10−7x_{92} = -5.17046127814 \cdot 10^{-7}
x93=−5.01791504831⋅10−7x_{93} = -5.01791504831 \cdot 10^{-7}
x94=−5.16716545238⋅10−7x_{94} = -5.16716545238 \cdot 10^{-7}
x95=5.16906012674⋅10−7x_{95} = 5.16906012674 \cdot 10^{-7}
x96=−5.13695794328⋅10−7x_{96} = -5.13695794328 \cdot 10^{-7}
x97=−5.17081188793⋅10−7x_{97} = -5.17081188793 \cdot 10^{-7}
x98=5.17104332331⋅10−7x_{98} = 5.17104332331 \cdot 10^{-7}
x99=5.13818240034⋅10−7x_{99} = 5.13818240034 \cdot 10^{-7}
x100=5.03088932062⋅10−7x_{100} = 5.03088932062 \cdot 10^{-7}
x101=5.16082776189⋅10−7x_{101} = 5.16082776189 \cdot 10^{-7}
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*atan(x).
0atan⁡(0)0 \operatorname{atan}{\left (0 \right )}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
xx2+1+atan⁡(x)=0\frac{x}{x^{2} + 1} + \operatorname{atan}{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x2+1(−2x2x2+1+2)=0\frac{1}{x^{2} + 1} \left(- \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + 2\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(xatan⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
lim⁡x→∞(xatan⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*atan(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x)=−π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left (x \right )} = - \frac{\pi}{2}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=−πx2y = - \frac{\pi x}{2}
lim⁡x→∞atan⁡(x)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left (x \right )} = \frac{\pi}{2}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=πx2y = \frac{\pi x}{2}
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
xatan⁡(x)=xatan⁡(x)x \operatorname{atan}{\left (x \right )} = x \operatorname{atan}{\left (x \right )}
- Да
xatan⁡(x)=−xatan⁡(x)x \operatorname{atan}{\left (x \right )} = - x \operatorname{atan}{\left (x \right )}
- Нет
значит, функция
является
чётной