График функции y = x*(4-x)^2

Вы ввели

                2
f(x) = x*(4 - x) 

$$f{\left (x \right )} = x \left(- x + 4\right)^{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \left(- x + 4\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*(4 - x)^2.
$$0 \left(- 0 + 4\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$x \left(2 x - 8\right) + \left(- x + 4\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

      256 
(4/3, ---)
       27 

(4, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 4/3] U [4, oo)

Возрастает на промежутках

[4/3, 4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$2 \left(3 x - 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{8}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[8/3, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 8/3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(- x + 4\right)^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x + 4\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*(4 - x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(- x + 4\right)^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left(- x + 4\right)^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \left(- x + 4\right)^{2} = - x \left(x + 4\right)^{2}$$
- Нет
$$x \left(- x + 4\right)^{2} = - -1 x \left(x + 4\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной