Графики функций/ Построение в 2D/ y = x*2^x

График функции y = x*2^x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          x
f(x) = x*2
f(x)=2xxf{\left (x \right )} = 2^{x} x
График функции
-1400-1300-1200-1100-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-1000.00010-0.00010
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2xx=02^{x} x = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=−80.8832192296x_{1} = -80.8832192296
x2=−86.8200213412x_{2} = -86.8200213412
x3=−78.9071860474x_{3} = -78.9071860474
x4=−65.1364231661x_{4} = -65.1364231661
x5=−47.8174626073x_{5} = -47.8174626073
x6=−116.62193855x_{6} = -116.62193855
x7=−94.7516337264x_{7} = -94.7516337264
x8=−55.4194378904x_{8} = -55.4194378904
x9=−130.566173052x_{9} = -130.566173052
x10=−74.9604548837x_{10} = -74.9604548837
x11=−92.7673149739x_{11} = -92.7673149739
x12=−57.3496569868x_{12} = -57.3496569868
x13=−76.9328665032x_{13} = -76.9328665032
x14=−106.672746069x_{14} = -106.672746069
x15=−110.651082955x_{15} = -110.651082955
x16=−104.684343039x_{16} = -104.684343039
x17=−69.0571192091x_{17} = -69.0571192091
x18=−108.661670936x_{18} = -108.661670936
x19=−63.1818684084x_{19} = -63.1818684084
x20=−84.8397745144x_{20} = -84.8397745144
x21=−71.0222949157x_{21} = -71.0222949157
x22=−128.573264419x_{22} = -128.573264419
x23=−114.63124451x_{23} = -114.63124451
x24=−122.596186515x_{24} = -122.596186515
x25=−61.231994664x_{25} = -61.231994664
x26=−45.965044059x_{26} = -45.965044059
x27=−126.580620159x_{27} = -126.580620159
x28=0x_{28} = 0
x29=−59.2875943009x_{29} = -59.2875943009
x30=−102.696499935x_{30} = -102.696499935
x31=−98.7226655172x_{31} = -98.7226655172
x32=−67.0950160279x_{32} = -67.0950160279
x33=−72.9901766184x_{33} = -72.9901766184
x34=−96.7367716171x_{34} = -96.7367716171
x35=−53.498557512x_{35} = -53.498557512
x36=−90.7838858004x_{36} = -90.7838858004
x37=−118.613008217x_{37} = -118.613008217
x38=−51.5891524188x_{38} = -51.5891524188
x39=−100.709258677x_{39} = -100.709258677
x40=−88.8014250621x_{40} = -88.8014250621
x41=−82.8607976381x_{41} = -82.8607976381
x42=−49.6941114194x_{42} = -49.6941114194
x43=−120.604431092x_{43} = -120.604431092
x44=−112.640950465x_{44} = -112.640950465
x45=−124.588255415x_{45} = -124.588255415
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*2^x.
0⋅200 \cdot 2^{0}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2xxlog⁡(2)+2x=02^{x} x \log{\left (2 \right )} + 2^{x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−1log⁡(2)x_{1} = - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}}
Зн. экстремумы в точках:
           -1   
  -1     -e     
(------, ------)
 log(2)  log(2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=−1log⁡(2)x_{1} = - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}}
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[-1/log(2), oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -1/log(2)]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2x(xlog⁡(2)+2)log⁡(2)=02^{x} \left(x \log{\left (2 \right )} + 2\right) \log{\left (2 \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−2log⁡(2)x_{1} = - \frac{2}{\log{\left (2 \right )}}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2/log(2), oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2/log(2)]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(2xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(2^{x} x\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(2xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(2^{x} x\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*2^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞2x=0\lim_{x \to -\infty} 2^{x} = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞2x=∞\lim_{x \to \infty} 2^{x} = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2xx=−2−xx2^{x} x = - 2^{- x} x
- Нет
2xx=−−1⋅2−xx2^{x} x = - -1 \cdot 2^{- x} x
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной