График функции y = x*2^x

Вы ввели

          x
f(x) = x*2 

$$f{\left (x \right )} = 2^{x} x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2^{x} x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -80.8832192296$$
$$x_{2} = -86.8200213412$$
$$x_{3} = -78.9071860474$$
$$x_{4} = -65.1364231661$$
$$x_{5} = -47.8174626073$$
$$x_{6} = -116.62193855$$
$$x_{7} = -94.7516337264$$
$$x_{8} = -55.4194378904$$
$$x_{9} = -130.566173052$$
$$x_{10} = -74.9604548837$$
$$x_{11} = -92.7673149739$$
$$x_{12} = -57.3496569868$$
$$x_{13} = -76.9328665032$$
$$x_{14} = -106.672746069$$
$$x_{15} = -110.651082955$$
$$x_{16} = -104.684343039$$
$$x_{17} = -69.0571192091$$
$$x_{18} = -108.661670936$$
$$x_{19} = -63.1818684084$$
$$x_{20} = -84.8397745144$$
$$x_{21} = -71.0222949157$$
$$x_{22} = -128.573264419$$
$$x_{23} = -114.63124451$$
$$x_{24} = -122.596186515$$
$$x_{25} = -61.231994664$$
$$x_{26} = -45.965044059$$
$$x_{27} = -126.580620159$$
$$x_{28} = 0$$
$$x_{29} = -59.2875943009$$
$$x_{30} = -102.696499935$$
$$x_{31} = -98.7226655172$$
$$x_{32} = -67.0950160279$$
$$x_{33} = -72.9901766184$$
$$x_{34} = -96.7367716171$$
$$x_{35} = -53.498557512$$
$$x_{36} = -90.7838858004$$
$$x_{37} = -118.613008217$$
$$x_{38} = -51.5891524188$$
$$x_{39} = -100.709258677$$
$$x_{40} = -88.8014250621$$
$$x_{41} = -82.8607976381$$
$$x_{42} = -49.6941114194$$
$$x_{43} = -120.604431092$$
$$x_{44} = -112.640950465$$
$$x_{45} = -124.588255415$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*2^x.
$$0 \cdot 2^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2^{x} x \log{\left (2 \right )} + 2^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}}$$
Зн. экстремумы в точках:

           -1   
  -1     -e     
(------, ------)
 log(2)  log(2) 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-1/log(2), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -1/log(2)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2^{x} \left(x \log{\left (2 \right )} + 2\right) \log{\left (2 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2}{\log{\left (2 \right )}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2/log(2), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2/log(2)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2^{x} x\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{x} x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*2^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} 2^{x} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} 2^{x} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2^{x} x = - 2^{- x} x$$
- Нет
$$2^{x} x = - -1 \cdot 2^{- x} x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной