График функции y = x*exp(2*x)

Вы ввели

          2*x
f(x) = x*e   

$$f{\left (x \right )} = x e^{2 x}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x e^{2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -88.4299412042$$
$$x_{2} = -54.4750062227$$
$$x_{3} = -15.0740840979$$
$$x_{4} = -22.6957023751$$
$$x_{5} = -48.4905367883$$
$$x_{6} = -100.421813658$$
$$x_{7} = -52.4797320544$$
$$x_{8} = -98.4230212295$$
$$x_{9} = -110.41647144$$
$$x_{10} = -92.4269803909$$
$$x_{11} = -20.7448218336$$
$$x_{12} = -66.4532716392$$
$$x_{13} = -50.4848882937$$
$$x_{14} = -36.5403401551$$
$$x_{15} = -102.420656323$$
$$x_{16} = -16.910847614$$
$$x_{17} = -70.447837886$$
$$x_{18} = -68.4504671726$$
$$x_{19} = -90.4284256014$$
$$x_{20} = -86.4315324763$$
$$x_{21} = -78.438780333$$
$$x_{22} = -74.4430429656$$
$$x_{23} = -28.6042039159$$
$$x_{24} = -32.5672737068$$
$$x_{25} = -82.434965915$$
$$x_{26} = -40.5198064108$$
$$x_{27} = -104.419546153$$
$$x_{28} = -44.5036237758$$
$$x_{29} = -76.4408508191$$
$$x_{30} = -108.417456217$$
$$x_{31} = -58.4666463154$$
$$x_{32} = -34.5528319076$$
$$x_{33} = -96.4242823853$$
$$x_{34} = -80.4368216406$$
$$x_{35} = -64.4562694336$$
$$x_{36} = -30.5841669729$$
$$x_{37} = -72.4453678375$$
$$x_{38} = -38.5294259177$$
$$x_{39} = -106.418480319$$
$$x_{40} = -26.6283695727$$
$$x_{41} = -46.4967518858$$
$$x_{42} = -18.8120890441$$
$$x_{43} = -84.433205236$$
$$x_{44} = -60.4629310925$$
$$x_{45} = -94.4256007757$$
$$x_{46} = -56.4706589232$$
$$x_{47} = -62.4594813058$$
$$x_{48} = 0$$
$$x_{49} = -42.5112629712$$
$$x_{50} = -24.6581187032$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*exp(2*x).
$$0 e^{0 \cdot 2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x e^{2 x} + e^{2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

         -1  
       -e    
(-1/2, -----)
         2   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-1/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -1/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \left(x + 1\right) e^{2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{2 x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*exp(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{2 x} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} e^{2 x} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x e^{2 x} = - x e^{- 2 x}$$
- Нет
$$x e^{2 x} = - -1 x e^{- 2 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной