График функции y = x*exp(x/2)

Вы ввели

          x
          -
          2
f(x) = x*e 

$$f{\left (x \right )} = x e^{\frac{x}{2}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x e^{\frac{x}{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -130.693518399$$
$$x_{2} = -140.623071549$$
$$x_{3} = -102.991531325$$
$$x_{4} = -116.818852953$$
$$x_{5} = -79.5170556695$$
$$x_{6} = -132.678353628$$
$$x_{7} = -114.840076309$$
$$x_{8} = -104.962955758$$
$$x_{9} = -136.649697037$$
$$x_{10} = -101.02170577$$
$$x_{11} = -81.4540563265$$
$$x_{12} = -97.0874332318$$
$$x_{13} = -124.742778378$$
$$x_{14} = -106.935853069$$
$$x_{15} = -66.1743908155$$
$$x_{16} = -126.725692171$$
$$x_{17} = -91.2021768021$$
$$x_{18} = -108.910110369$$
$$x_{19} = -120.779168063$$
$$x_{20} = -68.0472051662$$
$$x_{21} = -71.8335701954$$
$$x_{22} = -77.5856076025$$
$$x_{23} = -75.6605196063$$
$$x_{24} = -69.9344146471$$
$$x_{25} = 0$$
$$x_{26} = -64.319199212$$
$$x_{27} = -99.0536202035$$
$$x_{28} = -134.663757053$$
$$x_{29} = -118.798570886$$
$$x_{30} = -138.636144268$$
$$x_{31} = -95.12332382$$
$$x_{32} = -122.760587836$$
$$x_{33} = -142.61045361$$
$$x_{34} = -85.3421347313$$
$$x_{35} = -112.86230907$$
$$x_{36} = -128.709285568$$
$$x_{37} = -73.7427721767$$
$$x_{38} = -93.1614947461$$
$$x_{39} = -110.885626192$$
$$x_{40} = -89.245633939$$
$$x_{41} = -87.2921696195$$
$$x_{42} = -83.3959375378$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*exp(x/2).
$$0 e^{\frac{0}{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:

         -1 
(-2, -2*e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(\frac{x}{4} + 1\right) e^{\frac{x}{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{\frac{x}{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{\frac{x}{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*exp(x/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{x}{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x e^{\frac{x}{2}} = - x e^{- \frac{x}{2}}$$
- Нет
$$x e^{\frac{x}{2}} = - -1 x e^{- \frac{x}{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной