График функции y = x*e^(1-x)

Вы ввели

          1 - x
f(x) = x*E     

$$f{\left (x \right )} = e^{- x + 1} x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{- x + 1} x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 83.4785626915$$
$$x_{2} = 39.9866376954$$
$$x_{3} = 43.8762545098$$
$$x_{4} = 99.423626498$$
$$x_{5} = 97.4293509839$$
$$x_{6} = 57.6533514232$$
$$x_{7} = 117.381987934$$
$$x_{8} = 121.374613776$$
$$x_{9} = 63.596754713$$
$$x_{10} = 77.5062407713$$
$$x_{11} = 119.378231553$$
$$x_{12} = 34.2454094695$$
$$x_{13} = 113.389949729$$
$$x_{14} = 95.435354026$$
$$x_{15} = 91.4482816548$$
$$x_{16} = 67.56607699$$
$$x_{17} = 38.0568716419$$
$$x_{18} = 61.6140292183$$
$$x_{19} = 81.4872456641$$
$$x_{20} = 36.1413894509$$
$$x_{21} = 105.40794252$$
$$x_{22} = 101.418161552$$
$$x_{23} = 41.92723075$$
$$x_{24} = 69.5523925194$$
$$x_{25} = 51.7281686335$$
$$x_{26} = 32.3772961852$$
$$x_{27} = 65.5808212222$$
$$x_{28} = 73.527773187$$
$$x_{29} = 59.6328238139$$
$$x_{30} = 45.8319875396$$
$$x_{31} = 49.7587989604$$
$$x_{32} = 47.7931569933$$
$$x_{33} = 55.6758673387$$
$$x_{34} = 85.4703620749$$
$$x_{35} = 71.5396566044$$
$$x_{36} = 87.4626045093$$
$$x_{37} = 107.403158172$$
$$x_{38} = 89.4552548671$$
$$x_{39} = 111.394173452$$
$$x_{40} = 79.4964551189$$
$$x_{41} = 53.7006804985$$
$$x_{42} = 93.4416565533$$
$$x_{43} = 109.398572537$$
$$x_{44} = 115.385891061$$
$$x_{45} = 0$$
$$x_{46} = 75.516658846$$
$$x_{47} = 103.412938828$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*E^(1 - x).
$$0 e^{- 0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$e^{- x + 1} - x e^{- x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках

(-oo, 1]

Возрастает на промежутках

[1, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(x - 2\right) e^{- x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x + 1} x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x + 1} x\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*E^(1 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{- x + 1} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} e^{- x + 1} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{- x + 1} x = - x e^{x + 1}$$
- Нет
$$e^{- x + 1} x = - -1 x e^{x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной