График функции y = x*e^(5*x)

Вы ввели

          5*x
f(x) = x*E   

$$f{\left (x \right )} = e^{5 x} x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{5 x} x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -10.1860235605$$
$$x_{2} = -72.0871417253$$
$$x_{3} = -76.0864902902$$
$$x_{4} = -26.1105003062$$
$$x_{5} = -90.0846785477$$
$$x_{6} = -44.0952072176$$
$$x_{7} = -78.0861904101$$
$$x_{8} = -68.0878725594$$
$$x_{9} = -70.0874963368$$
$$x_{10} = -24.113775776$$
$$x_{11} = -12.1624810641$$
$$x_{12} = -30.1053762154$$
$$x_{13} = -32.1033341886$$
$$x_{14} = -18.1286686167$$
$$x_{15} = -16.1365788146$$
$$x_{16} = -88.0849011033$$
$$x_{17} = -54.0913222521$$
$$x_{18} = -96.0840679179$$
$$x_{19} = -66.0882724312$$
$$x_{20} = -14.1472558033$$
$$x_{21} = -62.089152643$$
$$x_{22} = -98.083881399$$
$$x_{23} = -34.1015508687$$
$$x_{24} = -48.0934488158$$
$$x_{25} = -94.0842625774$$
$$x_{26} = -8.22763502772$$
$$x_{27} = -60.08963857$$
$$x_{28} = -20.1225696413$$
$$x_{29} = -74.0868069143$$
$$x_{30} = -56.0907191603$$
$$x_{31} = -84.0853789252$$
$$x_{32} = -64.088698255$$
$$x_{33} = -58.0901594388$$
$$x_{34} = -42.0962196099$$
$$x_{35} = 0$$
$$x_{36} = -52.0919739603$$
$$x_{37} = -38.0985856557$$
$$x_{38} = -46.0942876944$$
$$x_{39} = -50.0926804135$$
$$x_{40} = -28.1077377499$$
$$x_{41} = -102.083530822$$
$$x_{42} = -100.08370252$$
$$x_{43} = -40.0973397005$$
$$x_{44} = -86.0851343017$$
$$x_{45} = -92.0844659224$$
$$x_{46} = -80.0859059796$$
$$x_{47} = -22.1177220794$$
$$x_{48} = -104.08336588$$
$$x_{49} = -6.32493857676$$
$$x_{50} = -82.0856358347$$
$$x_{51} = -36.0999799756$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*E^(5*x).
$$0 e^{0 \cdot 5}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$5 x e^{5 x} + e^{5 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{5}$$
Зн. экстремумы в точках:

         -1  
       -e    
(-1/5, -----)
         5   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{5}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-1/5, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -1/5]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$5 \left(5 x + 2\right) e^{5 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2}{5}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2/5, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2/5]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{5 x} x\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{5 x} x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*E^(5*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{5 x} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} e^{5 x} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{5 x} x = - x e^{- 5 x}$$
- Нет
$$e^{5 x} x = - -1 x e^{- 5 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной