Графики функций/ Построение в 2D/ y = x*e^(3*x)

График функции y = x*e^(3*x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          3*x
f(x) = x*E
f(x)=e3xxf{\left (x \right )} = e^{3 x} x
График функции
-1100-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-10001
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
e3xx=0e^{3 x} x = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=−36.9387450641x_{1} = -36.9387450641
x2=−64.9059624302x_{2} = -64.9059624302
x3=−102.891223016x_{3} = -102.891223016
x4=−84.8964756652x_{4} = -84.8964756652
x5=−86.8957792133x_{5} = -86.8957792133
x6=−50.9174360048x_{6} = -50.9174360048
x7=−62.9072664633x_{7} = -62.9072664633
x8=−22.9922211573x_{8} = -22.9922211573
x9=−66.9047415605x_{9} = -66.9047415605
x10=−15.0879331725x_{10} = -15.0879331725
x11=−70.902519377x_{11} = -70.902519377
x12=−40.9309946684x_{12} = -40.9309946684
x13=−92.8938781666x_{13} = -92.8938781666
x14=−94.8933003357x_{14} = -94.8933003357
x15=−76.8996443729x_{15} = -76.8996443729
x16=−98.8922178389x_{16} = -98.8922178389
x17=−32.9486642444x_{17} = -32.9486642444
x18=−44.9247706684x_{18} = -44.9247706684
x19=−17.0522033059x_{19} = -17.0522033059
x20=−46.9220965396x_{20} = -46.9220965396
x21=−11.2328152835x_{21} = -11.2328152835
x22=−52.9153929935x_{22} = -52.9153929935
x23=−24.9801021391x_{23} = -24.9801021391
x24=−100.891710148x_{24} = -100.891710148
x25=−96.8927474191x_{25} = -96.8927474191
x26=−72.9015052766x_{26} = -72.9015052766
x27=−26.9701450523x_{27} = -26.9701450523
x28=−34.9433802056x_{28} = -34.9433802056
x29=−38.9346459152x_{29} = -38.9346459152
x30=−68.9035961391x_{30} = -68.9035961391
x31=−80.8979774496x_{31} = -80.8979774496
x32=−30.9547443398x_{32} = -30.9547443398
x33=−54.9135112168x_{33} = -54.9135112168
x34=−90.8944826353x_{34} = -90.8944826353
x35=−28.9618160346x_{35} = -28.9618160346
x36=−48.9196619334x_{36} = -48.9196619334
x37=−58.9101605313x_{37} = -58.9101605313
x38=−19.0265962551x_{38} = -19.0265962551
x39=−60.9086624652x_{39} = -60.9086624652
x40=−74.9005485195x_{40} = -74.9005485195
x41=−88.895115628x_{41} = -88.895115628
x42=−104.890755218x_{42} = -104.890755218
x43=−78.8987886111x_{43} = -78.8987886111
x44=−42.927721572x_{44} = -42.927721572
x45=−13.141611139x_{45} = -13.141611139
x46=−56.9117722919x_{46} = -56.9117722919
x47=0x_{47} = 0
x48=−106.890305627x_{48} = -106.890305627
x49=−21.0073010205x_{49} = -21.0073010205
x50=−82.8972074885x_{50} = -82.8972074885
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*E^(3*x).
0e0⋅30 e^{0 \cdot 3}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
3xe3x+e3x=03 x e^{3 x} + e^{3 x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Зн. экстремумы в точках:
         -1  
       -e    
(-1/3, -----)
         3


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[-1/3, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -1/3]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
3(3x+2)e3x=03 \left(3 x + 2\right) e^{3 x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2/3, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2/3]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(e3xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{3 x} x\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(e3xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{3 x} x\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*E^(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞e3x=0\lim_{x \to -\infty} e^{3 x} = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞e3x=∞\lim_{x \to \infty} e^{3 x} = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
e3xx=−xe−3xe^{3 x} x = - x e^{- 3 x}
- Нет
e3xx=−−1xe−3xe^{3 x} x = - -1 x e^{- 3 x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной