График функции y = x*e^(3*x)

Вы ввели

          3*x
f(x) = x*E   

$$f{\left (x \right )} = e^{3 x} x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{3 x} x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -36.9387450641$$
$$x_{2} = -64.9059624302$$
$$x_{3} = -102.891223016$$
$$x_{4} = -84.8964756652$$
$$x_{5} = -86.8957792133$$
$$x_{6} = -50.9174360048$$
$$x_{7} = -62.9072664633$$
$$x_{8} = -22.9922211573$$
$$x_{9} = -66.9047415605$$
$$x_{10} = -15.0879331725$$
$$x_{11} = -70.902519377$$
$$x_{12} = -40.9309946684$$
$$x_{13} = -92.8938781666$$
$$x_{14} = -94.8933003357$$
$$x_{15} = -76.8996443729$$
$$x_{16} = -98.8922178389$$
$$x_{17} = -32.9486642444$$
$$x_{18} = -44.9247706684$$
$$x_{19} = -17.0522033059$$
$$x_{20} = -46.9220965396$$
$$x_{21} = -11.2328152835$$
$$x_{22} = -52.9153929935$$
$$x_{23} = -24.9801021391$$
$$x_{24} = -100.891710148$$
$$x_{25} = -96.8927474191$$
$$x_{26} = -72.9015052766$$
$$x_{27} = -26.9701450523$$
$$x_{28} = -34.9433802056$$
$$x_{29} = -38.9346459152$$
$$x_{30} = -68.9035961391$$
$$x_{31} = -80.8979774496$$
$$x_{32} = -30.9547443398$$
$$x_{33} = -54.9135112168$$
$$x_{34} = -90.8944826353$$
$$x_{35} = -28.9618160346$$
$$x_{36} = -48.9196619334$$
$$x_{37} = -58.9101605313$$
$$x_{38} = -19.0265962551$$
$$x_{39} = -60.9086624652$$
$$x_{40} = -74.9005485195$$
$$x_{41} = -88.895115628$$
$$x_{42} = -104.890755218$$
$$x_{43} = -78.8987886111$$
$$x_{44} = -42.927721572$$
$$x_{45} = -13.141611139$$
$$x_{46} = -56.9117722919$$
$$x_{47} = 0$$
$$x_{48} = -106.890305627$$
$$x_{49} = -21.0073010205$$
$$x_{50} = -82.8972074885$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*E^(3*x).
$$0 e^{0 \cdot 3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x e^{3 x} + e^{3 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

         -1  
       -e    
(-1/3, -----)
         3   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-1/3, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -1/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$3 \left(3 x + 2\right) e^{3 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2/3, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2/3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{3 x} x\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{3 x} x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*E^(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{3 x} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} e^{3 x} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{3 x} x = - x e^{- 3 x}$$
- Нет
$$e^{3 x} x = - -1 x e^{- 3 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной