График функции y = x*e^(x)

Вы ввели

          x
f(x) = x*E 

$$f{\left (x \right )} = e^{x} x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x} x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -39.6870583075$$
$$x_{2} = -103.104070158$$
$$x_{3} = -87.1541152287$$
$$x_{4} = -59.3262172$$
$$x_{5} = -77.1981473784$$
$$x_{6} = -32.0913241206$$
$$x_{7} = -71.2319064024$$
$$x_{8} = -63.2896724119$$
$$x_{9} = -53.3950840174$$
$$x_{10} = -49.4541901054$$
$$x_{11} = -43.5740005057$$
$$x_{12} = -111.085180983$$
$$x_{13} = -113.080930866$$
$$x_{14} = -69.244782341$$
$$x_{15} = -47.4891864945$$
$$x_{16} = -97.1205993527$$
$$x_{17} = -105.099039845$$
$$x_{18} = -57.3470343911$$
$$x_{19} = -101.109329237$$
$$x_{20} = -79.1882678184$$
$$x_{21} = -99.114833113$$
$$x_{22} = -83.1702113647$$
$$x_{23} = -81.1789726997$$
$$x_{24} = -37.7592416454$$
$$x_{25} = -91.1396752246$$
$$x_{26} = -121.065503606$$
$$x_{27} = -61.3071694941$$
$$x_{28} = -119.069142283$$
$$x_{29} = -65.2735421114$$
$$x_{30} = -33.9540517146$$
$$x_{31} = -109.089608132$$
$$x_{32} = -67.2586229734$$
$$x_{33} = -73.2198969347$$
$$x_{34} = -115.076847342$$
$$x_{35} = -117.072920782$$
$$x_{36} = -45.5287883413$$
$$x_{37} = -75.2086687051$$
$$x_{38} = -35.846376594$$
$$x_{39} = -55.3698838391$$
$$x_{40} = -85.1619388763$$
$$x_{41} = -41.6261544569$$
$$x_{42} = -95.1266472538$$
$$x_{43} = -51.4230249784$$
$$x_{44} = 0$$
$$x_{45} = -107.094223645$$
$$x_{46} = -93.1329980619$$
$$x_{47} = -89.1467046859$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*E^x.
$$0 e^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$e^{x} + x e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

       -1 
(-1, -e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-1, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(x + 2\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} x\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*E^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x} x = - x e^{- x}$$
- Нет
$$e^{x} x = - -1 x e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной